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(C) admet au voisinage Exercice N°1(3points) Le graphique ci-dessous (C ) est l

(C) admet au voisinage Exercice N°1(3points) Le graphique ci-dessous (C ) est la representation graphique d’une fonction f définie sur IR\{2} −∞ de une asymptote horizentale d’équation y= -1et une asymptote verticale d’équation x=2 et une asymptote oblique D :y=x-1 1) Calculer les limites suivantes 2) Soit g la fonction définie par g(x)= 1 x a) Déterminer le domaine de définition de g f  b) Montrer que g f  est prolongeable par continuité en 2 Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormé direct (O, Exercice N°2(8points) , u v  ) On considère l’application f de P dans P qui a tout point M( z )associe le point M’ (z’) tel que ' i z z e z = 1) a) Déterminer les affixes des points A’ et B’ images respectives par f du point A d’affixe 2 π et de B (π ) b) Déterminer l’ensemble Γ des points M d’affixe z tel que ' 1 z = 2) a) Montrer qu’un point M est invariant par f si et seulement s’il existe k Z ∈ tel que OM =2kπ b) En déduire l’ensemble F des points invariant par f 3) Soit dans C l’équation (E ) : 3 i z z e z = a) Montrer que si z est solution de (E) alors 0 1 z ou z = = b) Montrer que si z non nul solution de (E) alors 1 arg( ) , 2 z k k Z π = + ∈ c) Déduire les solutions de (E) Lycée Secondaire M. Bourguiba DEVOIR DE CONTROLE N° 1 Prof : Haouati Chokri Date: 23/11/2020 MATHEMATIQUES 4M Durée : 2h 2 1 1 lim ; lim ( ) sin( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) lim lim ( ) 3 ( ) x x x x f x f x f x f f x f x x f x →−∞ →+∞ →+∞ → + − +  4) Soit C d’affixe 1 3 i + et ∆la demi droite d’origine O passant par C et ne contenant pas le point O a) Montrer qu’un point M appartient a ∆ si et seulement si arg(z) [2 ] 3 π π ≡ b) Soit M(z) un point de ∆ et M’(z’) son image par f Montrer que M et M’ sont symétriques par rapport a ( , O u  ) si et seulement s’il existe * n IN ∈ tel que 2 2 3 z n π π = − + 5) Pour tout * k IN ∈ , on note Ck 2kπ le cercle de centre O et de rayon Dk la couronne délimitée par les cercles C k et Ck+1 et Uk l’aire de la couronne D a) Montrer que U k k 3(8 4) k π + = b) Calculer la limite de la suite (Sn) définie sur IN * 1 n n k k S U = =∑ par 6) Soit k * IN ∈ . Montrer qu’un point M(z) appartient a k D ∆∩ et est symétrique avec son image par rapport a (O, ) u  si et seulement si z= 3 2 2 ( ) 3 i k e π π + Soit la suite (u Exercice N°3(9points) n 2 0 1 1 2 2 n n n u u et u u + = = − ) définie sur IN par 1) Montrer que * ,0 1 n n IN u ∀∈ < < 2) Montrer que (un 3) Soit la suite (v ) est décroissante et convergente puis déterminer sa limite n) définie sur IN*par vn= n .u a) Montrer que n * n 1 n 1 2 ,v v ( ) 2 1 n n n n IN u u n + + ∀∈ − = − + b) Montrer que * 2 , 1 n n IN u n ∀∈ < + c) En déduire que (vn 4) Soit pour tout n ) est convergente, on note l sa limite * 1 1 1 ,w 2 n n n k k n IN et H w u n = ∈ = = − ∑ a) Montrer que (wn b) Vérifier que ) est décroissante * 1 1 1 , n n n n IN w u u + ∀∈ = − c) En déduire que 1 1 1 1 n n n H nv nu + + = − d) Vérifier alors que 1 lim n n H l →+∞ = e) Montrer que * 2 2 1 ,w 2 n n n n n IN H H w + ∀∈ < − < f) En déduire que l=2 uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-de-controle-n01-math-bac-mathematiques-2020-2021-mr-haouati-chokri.pdf