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Lycée Pilote du Kef Devoir de Synthèse N° 3 Classe : 3 M 2 Prof : Amor Rejbi Du

Lycée Pilote du Kef Devoir de Synthèse N° 3 Classe : 3 M 2 Prof : Amor Rejbi Durée : 3 Heures Exercice 1 Soit n (U ) une suite définie sur IN par : 0 n n 1 n U 1 U U 1 U + =    =  +  1) Montrer que pour tout entier naturel n, on a : n 0 U 1 < ≤. 2) Etudier la monotonie de n (U ) . 3) On pose n n 1 V U = a) Calculer 0 1 V et V . b) Montrer que n V est une suite arithmétique. c) Exprimer n V puis n U en fonction de n. 4) Calculer n nlim U →+∞ Exercice 2 Une urne contient 9 boules : 3 boules rouges numérotées 1, 1,1 − − ; deux boules vertes numérotées 2,2 − et 4 boules blanches numérotées 1, 2,2,2 − . toutes les boules sont indiscernables au toucher. 1) On tire simultanément et au hasard 3 boules de l’urne Calculer la probabilité des événements suivants : A : « Avoir trois boules de même couleur » B : « Avoir trois boules dont le produit des numéros marquer sur ces 3 boules est négatif » C : « Avoir trois boules de même couleur et donnant un produit négatif » D : « Avoir trois boules de même couleur ou donnant un produit négatif » 2) On tire maintenant 3 boules successivement et avec remise. Calculer la probabilité des événements suivants : E : « Avoir trois boules de 3 couleurs différentes » F : « Avoir trois boules de 3 couleurs différentes dont la première est rouge » G : « Avoir un produit négatif dont une seule parmi les trois boules est numérotée −2 » Exercice 3 (O,i, j,k) un repère orthonormé de l’espace. Soient les points : 1 A(2, 3,4) ; B( 3,1,2) et le vecteur U 2 3 −     − −     1) Donner une représentation paramétrique de la droite D passant par A et de vecteur directeur U . 2) Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par B et perpendiculaire à D. 3) Soit H le projeté orthogonal de A sur P. a) Déterminer les coordonnées de H. b) Calculer la distance de A au plan P. 4) a) Quel est le projeté orthogonal de B sur D. b) Calculer la distance de B à la droite D. Exercice 4 L'espace E est rapporté à un repère orthonormé (O,i, j,k) . On donne les points A(2, 3, 1) ; B(1,0,2) et C(0,1,3) − − . 1) a) Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. b) Ecrire une équation cartésienne du plan P passant par les points A, B et C. 2) Pour tout réel t de l’intervalle [ [ , −π π , on considère l’ensemble St des points M(x, y,z) vérifiant l’équation : 2 2 2 2 2 x y z 2tx 2ysin t 2z t sin t 1 0 + + − − + + + −= . Montrer que t S est une sphère dont en précisera le centre et le rayon. 3) a) Etudier suivant les valeurs de t l’intersection de la sphère t S et du plan P. b) Dans le cas où le plan P est tangent à la sphère t S , Déterminer les coordonnées du point de contact. Bon Travail uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-de-synthese-n03-lycee-pilote-el-kef-math-3eme-math-2007-2008.pdf