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[ Baccalauréat S Asie juin 2005 \ EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candida

[ Baccalauréat S Asie juin 2005 \ EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ³ O, − → ı , − → , − → k ´ . On appelle D la droite d’équations paramétriques :    x = 1+2t y = 2−t z = −3−t et P le plan d’équation car- tésienne x +2y −3z −1 = 0. Dans chacune des lignes du tableau ci-dessous, une seule afﬁrmation est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la ligne et la lettre correspondant à l’af- ﬁrmation choisie. Aucune justiﬁcation n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5 point; une réponse inexacte enlève 0,25 point; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. Numéro de la Afﬁrmation A Afﬁrmation B Afﬁrmation C ligne Le point Le point Le point 1. M de coordonnées (−1 ; 3 ; 2) N de coordonnées (2 ; −1 ; −1) R de coordonnées (3 ; 1 ; −4) appartient à D appartient à D appartient à D Le vecteur Le vecteur Le vecteur 2. − → u de coordonnées (1 ; 2 ; −3) − → v de coordonnées (−2 ; 1 ; 1) − → w de coordonnées (3 ; 1 ; −4) est un vecteur directeur de D est un vecteur directeur de D est un vecteur directeur de D 3. D est incluse dans P D est strictement parallèle à P D est sécante à P Le point Le point Le point 4. G de coordonnées (1 ; 3 ; −2) G de coordonnées (1; 3; 2) G de coordonnées (1 ; 3 ; −1) appartient à P appartient à P appartient à P Le plan Q1 d’équation carté- Le plan Q2 d’équation carté- Le plan Q3 d’équation carté- 5. sienne x +2y −3z +1 = 0 sienne 4x −5y −2z +3 = 0 sienne −3x +2y −z −1 = 0 est perpendiculaire à P est perpendiculaire à P est perpendiculaire à P La distance du point T de coor- La distance du point T de La distance du point T de coor- 6. données (−1 ; −3 ; 2) coordonnées (−1 ; −3 ; 2) données (−1 ; −3 ; 2) au plan P est : p 14 au plan P est : 14 plan P est : 2 p 3 Numéro de la Afﬁrmation A Afﬁrmation B Afﬁrmation C ligne 1. Le point M de coordonnées (−1 ; 3 ; 2) appartient à D Le point N de coordonnées (2 ; −1 ; −1) appartient à D Le point R de coordonnées (3 ; 1 ; −4) appartient à D 2. Le vecteur − → u de coordonnées (1 ; 2 ; −3) est un vecteur directeur de D Le vecteur − → v de coordonnées (−2 ; 1 ; 1) est un vecteur directeur de D Le vecteur − → w de coordonnées (3 ; 1 ; −4) est un vecteur directeur de D 3. D est incluse dans P D est strictement parallèle à P D est sécante à P 4. Le point G de coordonnées (1 ; 3 ; −2) appartient à P Le point G de coordonnées (1; 3; 2) appartient à P Le point G de coordonnées (1 ; 3 ; −1) appartient à P 5. Le plan Q1 d’équation cartésienne x +2y −3z +1 = 0 est perpendiculaire à P Le plan Q2 d’équation cartésienne 4x −5y −2z +3 = 0 est perpendiculaire à P Le plan Q3 d’équation cartésienne −3x +2y −z −1 = 0 est perpendiculaire à P 6. La distance du point T de coordonnées (−1 ; −3 ; 2) au plan P est : p 14 La distance du point T de coordonnées (−1 ; −3 ; 2) au plan P est : 14 La distance du point T de coordonnées (−1 ; −3 ; 2) est : 2 p 3 Baccalauréat S A. P. M. E. P. EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats Une association organise une loterie pour laquelle une participation m exprimée en euros est demandée. Un joueur doit tirer simultanément au hasard, deux boules dans une urne contenant 2 boules vertes et 3 boules jaunes. Si le joueur obtient deux boules de couleurs différentes, il a perdu. Si le joueur obtient deux boules jaunes, il est remboursé de sa participation m. Si le joueur obtient 2 boules vertes, il peut continuer le jeu qui consiste à faire tour- ner une roue où sont inscrits des gains répartis comme suit : • sur 1 8 de la roue le gain est de 100 (, • sur 1 4 de la roue le gain est de 20 (, • sur le reste le joueur est remboursé de sa participation m. On appelle V l’évènement « le joueur a obtenu 2 boules vertes ». On appelle J l’évènement « le joueur a obtenu 2 boules jaunes ». On appelle R l’évènement « le joueur est remboursé de sa participation et ne gagne rien ». 1. Quelques calculs. a. Calculer les probabilités P(V) et P(J) des évènements respectifs V et J. b. On note PV(R) la probabilité pour le joueur d’être remboursé sachant qu’il a obtenu deux boules vertes. Déterminer PV(R) puis P(R∩V). c. Calculer P(R). d. Calculer la probabilité de gagner les 100 (, puis la probabilité de gagner les 20 ( de la roue. 2. On appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur c’est- à-dire la différence entre les sommes éventuellement perçues et la participa- tion initiale m. a. Donner les valeurs prises par la variable aléatoire X . b. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X et vériﬁer que p(X = −m) est 0,6. c. Démontrer que l’espérance mathématique de la variable aléatoire X est E(X ) = 140−51m 80 . d. L’organisateur veut ﬁxer la participation m à une valeur entière en euro. Quelle valeur minimale faut-il donner à m pour que l’organisateur puisse espérer ne pas perdre d’argent? 3. Un joueur se présente et décide de jouer 4 fois, quels que soient les résultats obtenus. Calculer la probabilité qu’il perde au moins une fois sa mise. 4. On voudrait qu’un joueur ait plus d’une chance sur deux d’être remboursé de sa mise ou de gagner quand il joue une seule fois. On note G cet évènement. Pour cela on garde deux boules vertes dans l’urne mais on modiﬁe le nombre de boules jaunes. On appelle n le nombre de boules jaunes, on suppose n ⩾ 1. Calculer la valeur minimale de n pour que la condition précédente soit vériﬁée. EXERCICE 3 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité Asie 2 juin 2005 Baccalauréat S A. P. M. E. P. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ³ O, − → u , − → v ´ (unité gra- phique 1 cm). On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation (E) d’inconnue z suivante : z3 +(−8+i)z2 +(17−8i)z +17i = 0. I. Résolution de l’équation (E). 1. Montrer que −i est solution de (E). 2. Déterminer les nombres réels a, b, c tels que : z3 +(−8+i)z2 +(17−8i)z +17i = (z +i) ¡ az2 +bz +c ¢ . 3. Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble des nombres complexes. II. On appelle A, B et C les points d’afﬁxes respectives 4+i, 4−i, −i. 1. Placer les points sur une ﬁgure que l’on complétera dans la suite de l’exercice. 2. Le point Ωest le point d’afﬁxe 2. On appelle S l’image de A par la rotation de centre Ωet d’angle de mesure π 2 . Calculer l’afﬁxe de S. 3. Démontrer que les points B, A, S, C appartiennent à un même cercle C dont on déterminera le centre et le rayon. Tracer C . 4. À tout point M d’afﬁxe z ̸= 2, on associe le point M′ d’afﬁxe z′ = iz +10−2i z −2 . a. Déterminer les afﬁxes des points A′, B′, C′ associés respectivement aux points A, B et C. b. Vériﬁer que A′, B′, C′ appartiennent à un cercle C ′ de centre P , d’afﬁxe i. Déterminer son rayon et tracer C ′. c. Pour tout nombre complexe z ̸= 2, exprimer |z′ −i| en fonction de z. d. Soit M un point d’afﬁxe z appartenant au cercle C . Démontrer que ¯ ¯z′ −i ¯ ¯ = 2 p 5. e. En déduire à quel ensemble appartiennent les points M′ associés aux points M du cercle C . EXERCICE 3 5 points Réservé aux candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité Le but de cet exercice est d’étudier les similitudes directes qui transforment l’en- semble S1 des sommets d’un carré C1 donné en l’ensemble S2 des sommets d’un carré C2 donné. Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal direct R = ³ O, − → u , − → v ´ uploads/Ingenierie_Lourd/ asi-s-juin-2005.pdf