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METHODE DES ELEMENTS FINIS MEF HERVE OUDIN Plan du polycopié INTRODUCTION......

METHODE DES ELEMENTS FINIS MEF HERVE OUDIN Plan du polycopié INTRODUCTION................................................................................................................................................. 1 I-1 LA MEF ET L'INDUSTRIE................................................................................................................................ 1 I-2 PROCESSUS D’ANALYSE & APPROXIMATION.................................................................................................. 2 LES TREILLIS ..................................................................................................................................................... 5 II-1 CALCUL D’UN TREILLIS ................................................................................................................................ 5 II-1.1 Analyse du problème ........................................................................................................................... 6 II-1.2 Calcul de la matrice raideur................................................................................................................ 7 II-1.3 Résolution............................................................................................................................................ 8 II-1.4 Post-traitement .................................................................................................................................... 8 II-1.5 Remarques........................................................................................................................................... 9 II-2 LA THEORIE.................................................................................................................................................. 9 II-2.1 Modèle barre en traction – compression............................................................................................. 9 II-2.2 Mise en équations par le PFD........................................................................................................... 10 II-2.3 Mise en équations par le PTV............................................................................................................ 11 II-2.4 Équivalence des principes ................................................................................................................. 11 II-2.5 L’élément fini barre........................................................................................................................... 12 II-2.6 Application aux treillis 2D ................................................................................................................ 14 II-3 L’ERREUR D’APPROXIMATION.................................................................................................................... 15 II-3.1 Modèle à 1 élément............................................................................................................................ 15 II-3.2 Modèle à 2 puis 3 éléments................................................................................................................ 17 II-3.3 Modèle à 1 élément de degré 2.......................................................................................................... 19 II-4 PETIT QUIZ ................................................................................................................................................. 22 NOTES PERSONNELLES...................................................................................................................................... 23 LES PORTIQUES............................................................................................................................................... 25 III-1 LA THEORIE .............................................................................................................................................. 25 III-1.1 Modèle poutre en flexion.................................................................................................................. 25 III-1.2 Mise en équations............................................................................................................................. 26 III-2 L’ELEMENT FINI POUTRE........................................................................................................................... 28 III-2.1 Approximation nodale...................................................................................................................... 28 III-2.2 Matrice raideur et masse.................................................................................................................. 29 III-2.3 Vecteur force généralisé................................................................................................................... 30 III-3 APPLICATION AUX PORTIQUES .................................................................................................................. 31 III-4 PETIT QUIZ ................................................................................................................................................ 33 NOTES PERSONNELLES...................................................................................................................................... 34 FORMULATION INTEGRALE....................................................................................................................... 35 IV-1 INTRODUCTION ......................................................................................................................................... 35 IV-2 RESIDUS PONDERES .................................................................................................................................. 37 IV-2.1 Formulation forte ............................................................................................................................. 37 IV-2.2 Transformation de la forme intégrale............................................................................................... 39 IV-3 FORMULATION VARIATIONNELLE EN MECANIQUE .................................................................................... 40 IV-3.1 Formulation intégrale ...................................................................................................................... 40 IV-3.2 Équivalence avec le PTV.................................................................................................................. 42 IV-3.3 Écriture matricielle du PTV ............................................................................................................. 43 IV-3.4 Applications à quatre modèles de l’ingénieur.................................................................................. 44 IV-4 PETIT QUIZ................................................................................................................................................ 48 NOTES PERSONNELLES...................................................................................................................................... 49 LES ELEMENTS FINIS .................................................................................................................................... 51 V-1 DISCRETISATION DU MILIEU....................................................................................................................... 51 V-1.1 Discrétisation géométrique................................................................................................................ 51 V-1.2 Approximation nodale........................................................................................................................ 52 V-2 CALCUL DES MATRICES ELEMENTAIRES..................................................................................................... 57 V-2.1 Formulation en mécanique des structures......................................................................................... 57 V-2.2 Application l’élément « T3 » axisymétrique ...................................................................................... 58 V-2.3 Techniques de calcul au niveau élémentaire ..................................................................................... 59 V-2.4 Application le « T3 » en élasticité plane............................................................................................ 63 V-3 ASSEMBLAGE ET CONDITIONS AUX LIMITES............................................................................................... 65 V-4 APPLICATION AU PROBLEME D’ECOULEMENT STATIONNAIRE .................................................................... 66 V-5 PETIT QUIZ ................................................................................................................................................. 70 NOTES PERSONNELLES...................................................................................................................................... 71 UTILISATION D'UN LOGICIEL ELEMENTS FINIS.................................................................................. 73 VI-1 DEROULEMENT D'UNE ETUDE ................................................................................................................... 73 VI-1.1 Analyse du problème:....................................................................................................................... 73 VI-1.2 Création et vérification des données:............................................................................................... 74 VI-1.3 Exécution du calcul:......................................................................................................................... 75 VI-1.4 Exploitation des résultats:................................................................................................................ 75 VI-2 ORGANIGRAMME D'UN LOGICIEL ELEMENTS FINIS .................................................................................... 76 VI-2 PETIT QUIZ................................................................................................................................................ 78 NOTES PERSONNELLES...................................................................................................................................... 79 I - Introduction 1 Introduction I-1 La MEF et l'industrie Quelle place occupe le calcul dans l'industrie ? Quels sont les principaux champs d'application du calcul ? Répondre à ces questions dépasse le cadre de la méthode des éléments finis. Ce n'est qu'une méthode parmi d'autres qui permettent à l'ingénieur d'effectuer des simulations numériques de phénomènes physiques. Le calcul occupe une place stratégique avec la CAO et les autres technologies de simulation (essais) dans le développement d'un produit complexe qui touche à différents domaines de la physique. Cela concerne les industries automobiles, navales, aéronautiques, ferroviaires, mais aussi les industries lourdes: centrales électriques, plates-formes pétrolières, et le génie civil. Le calcul est indispensable lorsque l'on cherche à obtenir une solution optimisée pour réduire les coûts et les délais de fabrication. Grâce au calcul l'ingénieur peut tester plusieurs configurations pour optimiser le comportement d'un modèle à une prestation donnée. Cela évite de multiplier les prototypes et les essais tests réels, les supports physiques ne servent plus à chercher une solution, ils permettent de la valider. Attention, même précis un modèle ne fournit jamais qu'une approximation de la réalité, il est donc impossible de se passer des prototypes. Le calcul s'applique aussi dans les domaines du « process ». Les procédés de fabrication tels que l'emboutissage, l'usinage grande vitesse, les dépôts de peinture, l'assemblage de tôlerie, la mise en forme des plastiques, peuvent être modélisés par éléments finis. Ici c'est une bonne représentation du comportement du phénomène physique qui sera recherchée pour pouvoir vérifier et valider un procédé de fabrication d'une pièce. Enfin le calcul de conception dans les bureaux d'études, c'est sans doute le plus répandu car grâce aux outils de calcul simplifié dont disposent les logiciels de CAO modernes, la simulation numérique fait partie des outils de conception pour obtenir un comportement défini à priori qui détermine le dimensionnement, donc le dessin, des pièces mécaniques. La méthode des éléments finis est de toutes les méthodes de discrétisation la plus utilisée car : Elle peut traiter des problèmes de géométrie complexe, Elle couvre de nombreux domaines de la physique, Les moyens informatiques actuels (puissance des calculateurs, outils de visualisation) la rende facile de mise en œuvre, De nombreux logiciels généraux ou dédiés sont disponibles sur le marché. Méthode des éléments finis 2 I-2 Processus d’analyse & approximation Si l'utilisation de la méthode se démocratise de par la simplicité croissante de mise en oeuvre, la fiabilité des algorithmes et la robustesse de la méthode, il reste néanmoins des questions essentielles auxquelles l'ingénieur devra répondre s'il veut effectuer une analyse par éléments finis dans de bonnes conditions. Il lui faudra : Formaliser les non dits et les réflexions qui justifient les choix explicites ou implicites de son analyse du problème (définition de son modèle), Évaluer la confiance qu'il accorde aux résultats produits, Analyser les conséquences de ces résultats par rapport aux objectifs visés. Ne perdez jamais de vue que l'analyse des résultats nécessite une bonne compréhension des différentes étapes mathématiques utilisées lors de l'approximation, pour pouvoir estimer l'erreur du modèle numérique par rapport à la solution exacte du problème mathématique. N'oubliez pas non plus que le modèle numérique ne peut fournir que des résultats relatifs aux informations contenues dans le modèle mathématique qui découle des hypothèses de modélisation. De façon générale, les différentes étapes d'analyse d'un problème physique s'organisent suivant le processus schématisé par la figure suivante. Nous partons d'un problème physique. Le cadre précis de l'étude est défini par les hypothèses simplificatrices « hypothèses de modélisation » qui permettent de définir un modèle mathématique. La difficulté pour l'ingénieur est de savoir choisir parmi les lois de la physique celles dont les équations traduiront avec la précision voulue la réalité du problème physique. Le choix du modèle mathématique est un compromis entre le problème posé à l'ingénieur I - Introduction 3 "quelles grandeurs veut-on calculer et avec quelle précision?" et les moyens disponibles pour y répondre. Un bon choix doit donner une réponse acceptable pour des efforts de mise en oeuvre non prohibitifs. Si le modèle mathématique n'admet pas de solution analytique, il faut chercher une solution approchée de ce modèle. La discrétisation du problème « hypothèses de discrétisation » correspond au choix d'un modèle numérique permettant de traiter les équations mathématiques. Il est important de savoir distinguer et hiérarchiser ces deux niveaux d'hypothèses utilisés pour modéliser un phénomène physique. La figure suivante permet de distinguer les différentes méthodes en fonction de la démarche utilisée pour obtenir une équation matricielle (cette classification n'est pas unique). Toutes les méthodes d'approximation ont un même objectif, remplacer un problème mathématique défini sur un milieu continu (équations différentielles ou intégrales) par un problème mathématique discret (équation matricielle), problème de dimension finie que l'on sait résoudre numériquement. En résumé, les questions essentielles auxquelles l'ingénieur devra répondre s'il veut effectuer une analyse par un modèle numérique dans de bonnes conditions, sont : Quel modèle mathématique utiliser ? Quel modèle numérique faut-il lui associer ? Quelle est l'erreur d'approximation commise ? Peut-on améliorer le modèle numérique ? Faut-il changer le modèle mathématique ? Les équations du modèle retenu, sont soumises à un certain nombre d'hypothèses basées sur les sciences de l'ingénieur. Il faut connaître le domaine de validité de ces hypothèses pour pouvoir vérifier que la solution obtenue est satisfaisante. La solution exacte d'un modèle mathématique qui ne correspond pas à la réalité physique ne vaut rien. Méthode des éléments finis 4 II – Étude des treillis 5 Les treillis L’objectif de ce chapitre est d’appréhender de façon pragmatique la méthode des éléments finis, à partir du calcul de la réponse statique d'un treillis plan. Ce qui nous permet d’introduire les principales étapes de construction du modèle sur un exemple simple. Pour comprendre cette modélisation, nous rappelons les notions théoriques relatives au modèle de traction et nous présentons l’approximation « élément fini barre ». Le calcul d’une colonne sous son poids propre illustre ensuite la notion d'erreur d’approximation et nous permet d’envisager deux améliorations du modèle numérique, le raffinement de maillage ou l'utilisation d’un élément d’ordre supérieur. II-1 Calcul d’un treillis Intéressons-nous à la réponse statique du treillis plan représenté par la figure ci-dessous. a xo yo F 2 a Ce treillis est un assemblage (par rotules) d’éléments travaillant en traction – compression. La géométrie, les caractéristiques mécaniques, les conditions aux limites et le chargement sont donnés. La démarche suivie est la suivante • Analyse du problème discrétisation et définition des inconnues • Calcul de la matrice raideur équation matricielle à résoudre • Résolution déformée de la structure et efforts aux appuis • Post-traitement contraintes dans les barres et efforts aux nœuds. Méthode des éléments finis 6 II-1.1 Analyse uploads/Ingenierie_Lourd/ elements-finis 1 .pdf