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www.etudelibre.com MINEDUC OBC Epreuve de Mathématiques EXAMEN : Probatoire C

www.etudelibre.com MINEDUC OBC Epreuve de Mathématiques EXAMEN : Probatoire C/ E Durée : 3 heures SESSION 2002 Coefficient : 6 (C) / 5 (E) L'épreuve comporte deux exercices et un problème. Les pages sont numérotées de 1 à 2. Exercice 1 : 4 points La suite (Un) est définie par U0 = 4 ; Un+1 = 1 3 Un + 2 3 ; et la suite (vn) par Vn = Un – 1 . 1. Représenter graphiquement les quatre premiers termes de (Un). 1,25 pt 2. a) Démontrer que (Vn) est une suite géométrique. Préciser son premier terme et sa raison. 1 pt b) Calculer Vn et Un et en fonction de n 1 pt c) Calculer la valeur exacte de 3     1 3 + 1 3² + . . . +1 39 0,75 pt Exercice 2 : 5 points Chacune des questions qui vous sont proposées est accompagnée de quatre réponses parmi lesquelles une seule est juste ; écrivezla sur votre feuille sans autre justification. (Barème : 1 point par réponse juste). 1. Soit fla fonction telleque f(x) =tan 2x; l'ensemble dedéfinition def est a) IR b) IR\       π 2+kπ , k ∈ c) IR\       π 4 + k π 2 , k∈ d) IR\       π 4 + kπ ,k∈ 2. Quatre garçons et deux filles veulent constituer un groupe de travail composé de deux garçons et une fille choisis au hasard ; le nombre de groupes possibles est : a) 3 ; b) 24 ; c) 48 ; d) 12 . 3. E est un plan vectoriel muni d'une base( ) i , j f et g sont deux applications linéaires de E dans E définies par f( i ) = 2 i j , f( j ) = i + j ; g( i ) = i j et g( j ) = 3 i + j . La matrice de fog dans la base ( ) i , j est : a) b) c) d) 4. Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé ( ) O , i , j , k , le plan (P) a pour équation cartésienne x +2y +z 1 = 0. Le plan parallèle à (P) et passant par A(1, 1, 2) a pour équation cartésienne : a) x + 2y + z 5 = 0 ; b) x + 2y +z2 = 0 ; c) x+ 2y + z + 5 = 0 ; d) x + 2y +z – 1 = 0         2 2 7 1         − 2 2 7 1         − − 2 2 7 1         −2 2 7 1 www.etudelibre.com Dans un répère orthonormé (O , i , j) du plan, (C) est le cercle de centre O et de rayon 2 et A le point de coordonnées ( ) 1 , 3 . La tangente à (C) au point A a pour équation cartésienne : a) x + 3y + 4 = 0 ; b) x – 3y + 4 = 0 ; c) x + 3y + 4 = 0 ; d) x + 3y – 4 = 0 Problème : 11 points Le problème comporte deux parties indépendantes A et B. Partie A Dans le plan orienté, on considère un carré ABCD de centre O tel que( ) AB , AD = π 2 ; on construit les points E, F, G et H respectivement sur les segments [AB], [BC], [CD] et [DA] tels que AE = BF = CG = DH. On note r la rotation de centre O qui transforme A en B. 1. a) Réaliser la figure en prenant AB = 5 cm et AE = 2 cm. 0,5 pt b) Déterminer l’angle de r en justifiant votre réponse. 0,75 pt c) Recopier et compléter le tableau de correspondance suivant : 1,25 pt Objet B C D [AB] E Image par r 2. a) En utilisant la relation de Chasles, démontrer que le produit scalaire des vecteurs EF et FG est nul. 1 pt b) Quelle est la nature exacte du quadrilatère EFGH ? Justifier votre réponse. 1 pt 3. Déterminer l'aire du quadrilatère EBFO en fonction de celle du carré ABCD. 1 pt Partie B On considère la fonction f de la variable réelle x définie dans IR \ { 3 } par f(x) = x² 5x + 10 x3 . On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( ) O , i , j du plan . 1. a) Vérifier que, pour tout x de IR \ { 3 }, f(x) = x² 9 + 9 – 5(x 3 + 3) + 10 x + 3 0,5 pt b) En déduire qu'il existe trois réels a, b et c tels que, pour tout x de IR \ { 3 }, f(x) = ax + b + 3 − x c 0,75pt 2. Dresser le tableau de variation de f. 1,25 pt 3. Vérifier que (C) possède une asymptote oblique (D) et donner en fonction de x les positions relatives de (C) et de (D). 1 pt 4. Tracer (C). 1 pt 5. On note A le point de (C) d’abscisse 2. a) Ecrire une équation cartésienne de la tangente (D’) à (C) en A. 0,25 pt b) existetil des points de (C) en lesquels les tangentes à (C) sont perpendiculaires à (D’) ? Si oui, déterminer leurs abscisses. 0,75 pt uploads/Ingenierie_Lourd/ epreuve-2002 1 .pdf