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Sousse - Nabeul - Bardo - Sfax contact@takiacademy.com www.takiacademy.com 23390248 - 29862815 Magazine de mathématique Nombres Complexes Enoncé Magazine de mathématique Nombres Complexes Enoncé www.TakiAcademy.com Tous droits réservés © TakiAcademy.com : 23390248 - 29862267 1 M3 Sousse - Nabeul - Bardo - S f a x = C A z z contact@takiacademy.com C www.takiacademy.com de diamètre 2 3 390248 - 2 9862815 ' z tel que : 1 2 ' 2 z i z z i + − = + a) Montrer que si l’affixe ' z du point ' M est imaginaire pur, alors M appartient au cercle ( ) c de diamètre   AB . b) Montrer que si = ' 1 z , alors M est un point de la médiatrice  du segment   AB . 3°) Soit E le point d’affixe 1 1 2 2 2 E z i   = − +     et ' E le point d’affixe ' 1 2 2 E E E z i z z i + − = + . a) Montrer que ' E z i = −. b) Déduire l’affixe de chacun des deux points d’intersection de la droite et du cercle ( ) c . Soit ( ) , , O u v un repère orthonormé, A et I deux points d’affixes respectives 1 et 1 i −. Soit f l’application qui a tout point ( ) M z on associe '( ') M z telle que ' 1 1 i z z − = − . 1°) a) On considère les points E , F et G d’affixes respectives E z i = , 1 F z = − et G z i = −. Déterminer les affixes des points ' E , ' F et ' G images respectives de E , F et G par f . b) Montrer que les points ' E , ' F et ' G sont alignés. 2°) Montrer que, pour tout nombre complexe 1 z  , ' 1 ' 1 z i z z + − = − . 3°) En déduire que, si M est un point du cercle (C) de centre O et de rayon 1, distinct de A, alors M’ appartient à une droite que l'on déterminera. 4°) Montrer que, pour tout point M et tout point N d'image N' par f, distinct de A : ' ' MN M N AM AN =  . 5°) Soient B, C, D trois points de (C), distincts de A. D'après la question 3°), leurs images B', C' et D' sont alignées. On suppose, que C ' est situé entre B' et D'. Montrer que l'on a alors : AB CD BC DA AC BD  +  =  . www.TakiAcademy.com N°3 Magazine N°3 Niveau Bac 7 points EXERCICE N°1  SUJET 5 points EXERCICE N°2  Tous droits réservés © TakiAcademy.com : 23390248 - 29862815 2 M3 Dans la figure ci-contre, ( ) , , O u v est un repère orthonormé direct du plan, ( ) c est le cercle de centre O et de rayon 3. 1°) Soit Q le point d’affixe 5 2i + . a) Montrer que le point Q appartient à ( ) c . b) Construire alors le point Q. 2°) Soient A et B les points d’affixes respectives les nombres complexes : ( )   + = +       1 3 5 2 2 i a i et ( ) 1 3 5 2 2 i b i   − = +       . a) Montrer que les points A et B appartiennent au cercle ( ) c . b) Vérifier que + = OA OB OQ . c) En déduire que le quadrilatère OAQB est un losange. d) Construire alors les points Aet B . Le plan complexe ( ) p est rapporté à un repère orthonormé ( ) , , O u v . 1°) Déterminer l’ensemble E des points M de ( ) p d’affixe z vérifiant : 2 2 ( ) 0 z z + = 2°) A chaque point M d’affixe z, on note 1 M le point d’affixe z . On considère l’application f : P\{E } →P qui à tout point M(z) associe le point M′(z′) tel que 2 2 2 2 ( ) ' ( ) z z z z z = + . a°) Montrer que pour tout M de P\{E }, on a ' z z est un réel, en déduire que M′ (OM1). b°) Montrer que pour tout M de P\{E }, on a ' z z z − est imaginaire. En déduire que le triangle OMM′ est rectangle en M. c°) Donner alors la construction géométrique du point M′ associé à M pour tout M de P\{E}. d°) En utilisant les résultats des questions a) et b), résoudre l’équation (E) : 2 2 2 2 ( ) 5 5 ( ) 2 z z i z z = − + . 5 points EXERCICE N°3  5 points EXERCICE N°4  Sousse - Nabeul - Bardo - Sfax contact@takiacademy.com www.takiacademy.com 23390248 - 29862815 www.TakiAcademy.com uploads/Ingenierie_Lourd/ magazine3nombres-complexes-enonce.pdf