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Cours SMC -CUAM Probabilité Par Gassous M Anouar Introduction aux variables aléatoires L ? approche modèrne pour modéliser une expérience aléatoire est d ? utiliser les variables aléatoires En générale travailler sur l ? espace abstrait P est lourd ou com- pliqué et dans la pratique ce qui nous intéresse quand on a une expérience aléatoire en générale c ? est de quanti ? er certaines valeurs qui dépendent de l ? expérience Par exemple si on joue fois à pile ou face et on a envie de compter le nombre de pile qu ? on a fait dans ces lancers de pile ou face et donc on pose la variable aléatoire X le nombre de pile dans ces lancers Dé ? nitions CDé ? nition Etant donné un espace de probabilité P Une variable aléatoire c ? est une fonction X E Si l ? ensemble E est ? ni ou dénombrable on dit que X est une variable alétoire discrète Si l ? ensemble E est R ou un intervalle de R on dit que X est une variable aléatoire continue Si l ? ensemble E est Rd ou un intervalle de Rd on parlera d ? un vecteur aléatoire continue L ? ensemble F des valeurs possibles de la v a X est noté parfois val X ou X Dé ? nition On peut dé ? nir une probabilité sur E X que l ? on note PX de la facon suivante PX B P fX Bg P f X Bg Cpour tout B sous ensemble de E On appelle cette probabilité PX la loi de probabilité ou distribution de probabilité de X On commencera d ? abord par l ? étude des variables aléatoires discrètes et dans un deuxième chapitre on étudiera les variables aléatoires continues Variables aléatoires discrètes v a d - Loi de probabilité d ? une v a d Soit X une variable aléatoire discrète de dans E X Dans le cas d ? une v a d E est dénombrable c à d E fx x xi g et donc B introduite dans la dé ? nition est un sousensemble de fx x xi g Il su t de prendre B fxig et alors la loi de probabilité PX est déterminer par les valeurs PX xi P fX fxigg P X xi f xi CRemarque Cette fonction x f x est appellée fonction de masse ou fonction de distribution par analogie pour le cas continue v a c on parlera d ? une fonction densité de probabilité En résumé pour déterminer la loi d ? une variable aléatoire discrète il su t de ?? Déterminer E l ? ensemble des valeurs que peut prendre la v a d X ?? Calculer P X xi pour chaque valeur xi E Exemple On lance une paire de dés non pipés on considère la variable aléatoire X la somme des deux résultats obtenus On cherche la loi de X On a X P E PX