Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

L.PIETRI – Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé - Lycée Henri Loritz –

L.PIETRI – Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé - Lycée Henri Loritz – PCSI 2 ELECTRICITE : TD n° 4 A – APPLICATIONS DU COURS 1° ) Donner l’impédance complexe d’un circuit RLC s érie. En déduire le module et l’argument de cette impédance complexe. Représenter cette impédance dans un diagramme de Fresnel pour un déphasage de π/6. Pour quelle valeur de ω l’argument de l’impédance est-elle nulle. Quelle est le nom de cette pulsation particulière. Rép : Z(jω)=R+j(Lω-1/Cω)⇒ Z(ω)=√(R²+(Lω-1/Cω)² et arg[Z(jω)]=arctan[(Lω-1/Cω)/R] qui est nul pour ω=ω0=1/√LC pulsation propre du circuit. 2° ) Le modèle d’un condensateur aux basses et moy ennes fréquences (jusqu’à 10kHz environ pour les condensateurs électrochimiques) est l’association en parallèle de sa capacité et de sa résistance d’isolement R. Déterminer l’admittance complexe Y=G+jB et son angle de perte δ tel que tan δ=G/B.Représentez cet angle dans un diagramme de Fresnel. Rép : Y=1/R+jCω ⇒ tanδ=1/RCω d’où δ=π/2-ϕ où ϕ est l’argument de Y. 3° ) Soit le pont de Robinson c’est à dire un pont de Wheatstone formé de quatre impédances telles que la condition d’équilibre soit Z1Z3=Z2Z4 où Z1=R1, Z2=R2, Z3=(R//C) et Z4=R et C en série. Déterminer les conditions sur ω et sur les valeurs des composants pour que la condition d’équilibre soit réalisée. Rép : R1=2R2 et ω=1/RC 4° ) Un particulier utilise un moteur de type induct if que l’on pourra modéliser comme une résistance en série avec une inductance (R+jX) ainsi qu’un dispositif de chauffage, supposé purement résistif (R’). La tension efficace d’alimentation secteur est de 220V, sous une fréquence de 50Hz. L’intensité efficace débitée est de 8A pour le moteur seul, de 9A pour le chauffage seul, et de 15A pour l’ensemble. a) Donnez l’impédance complexe du moteur. b) Le somme des valeurs efficaces des deux courant consommés est-elle égale à l’amplitude du courant global ? Expliquer (représenter vectoriellement les intensités). Rép : a) A l’aide de la formule du diviseur de courant on obtient :R=[Z²(1-a²)/a²-R’²]/2R’=15,3Ω et X=√(Z²-R²)=22,8Ω où a=i1/i b) Sous forme vectorielle on vérifie bien la loi des noeuds, avec ϕ(i2/ii)=-56° et ϕ(i/i1)=-26° . 5° ) Calculer la valeur efficace des signaux ci-dess ous : a) Un signal carré symétrique tel que pour 0<t<T/2 on a u3(t)=um et pour T/2<t<T on a u3(t)=-um. b) Des impulsions tel que 0<t<αT on a u4(t)=um et pour αT<t<T on a u4(t)=0. c) Un signal triangulaire symétrique tel que : Rép : a) U3=um b) U4=√α.um c) U5=um/√3 B – TRAVAUX DIRIGES I – Diviseur de tension sans effet de filtrage Un diviseur de tension sans effet de filtrage (c’est à dire indépendant de la fréquence) se réalise à l’aide de deux impédances Z1 et Z2 de même structure. L’impédance Z2 étant imposée ( C2 et R2 en parallèle) calculer R1 et C1 pour que le rapport d’atténuation soit constant et égal à k<1. Rép : R1=(1-k)R2/k et C1=C2k/(1-k). II – Circuit RLC Série - Diagramme des tensions Un circuit RLC série est alimenté par un générateur de fem e(t)=E0cosωt, de résistance négligeable, de pulsation ω variable. En régime permanent, la tension u(t) aux bornes du condensateur est de la forme u(t)=U0cos(ωt+ϕ) 1° ) Exprimer le gain en tension G=U 0/E0 et le déphasage ϕ en fonction de Q et x=ω/ω0 2° ) Démontrer que pour Q>1/ √2 il y a une valeur ω0’ de ω qui rend le gain maximal? Exprimer ω’0 en fonction ω0 et Q. Donnez l’allure générale de G(ω) et ϕ(ω) rép: 1° ) u (t)=e/[(1-LCω²)+jRCω] ⇒ G= Q Q x x ² ( ² )² ² ) 1− + et ϕ=Arctan[1/Q(x-1/x)] 2° ) Si Q>1/ √2 alors ω0’=ω0√(1-1/2Q2) L.PIETRI – Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé - Lycée Henri Loritz – PCSI 2 III – Adaptateur d’impédances Pour transmettre une puissance maximale du générateur (em,Rg) à l’utilisation Ru , différente de Rg, on intercale entre le générateur et l’utilisation un quadripôle LC. 1° ) Montrer que la structure « gauche » permet l’a daptation d’impédances souhaitée lorsque Ru> Rg. Calculer L & C en fonction de Ru, Rg, et ω afin de réaliser un transfert maximal d’énergie. 2° ) Montrer que la structure « droite » permet l’a daptation d’impédances souhaitée lorsque Rg> Ru. Calculer L & C en fonction de Ru, Rg, et ω afin de réaliser un transfert maximal d’énergie. Rép : 1°) L=Ru/ω.√(Rg/Ru-Rg) et C=1/[ω√(Rg(Ru-Rg))] 2°) L=Rg/ω.√(Ru/Rg-Ru) et C=1/[ω√(Ru(Rg-Ru))] C – EXERCICES SUPPLEMENTAIRES I – Circuit RLC parallèle - Facteur de surintensité On considère le circuit ci-dessous. On désignera par IL,IC et I les courants efficaces respectivement dans la bobine, le condensateur, et le circuit principal. 1° ) Déterminer les facteurs de surintensité: Q L=IL/I, Qc=IC/I en fonction de R,L,C et ω. 2° ) Calculer en fonction de R, L, et C, les pulsati ons respectives ωL, ωC pour lesquelles les facteurs QL puis Qc sont maximums. Calculer la valeur maximale des facteurs QL et QC, et la condition d’existence de ces maximas. 3° ) Déterminer la relation simple liant ωL, ωC et la pulsation ω0 de résonance pour laquelle le circuit est équivalent à une résistance pure. 4° ) Déterminer, en fonction de L & C, la résistance minimale Rm pour laquelle il y a surintensité pour ω=ω0 5° ) Tracer les graphes Q L(ω) et QC(ω). Rép: 1° ) Q L=1/√[(1-LCω²)²+L²ω²/R²] et Qc=LCω²/√[(1-LCω²)²+L²ω²/R²] 2° ) ωL²=(2R²C-L)/2R²LC² et ωc²=2R²/L(2R²C-L) , pour R>√(L/2C) on a QL(ωL)=2R²C/√(L(4R²C-L) et Qc(ωc)= QL(ωL) 3° ) ωLωC=ω0² 4° ) pour ω=ω0 : QL=Qc=R√(C/L) ⇒ il y a surintensité si R>√(L/C)... II - Déphaseur RC Dans le circuit ci-contre les résistances R sont couplées de façon à rester toujours égales. 1° ) La tension d’entrée u 1(t) étant sinusoïdale déterminer la tension de sortie u2(t) lorsque la sortie est ouverte c’est à dire i2(t)=0. 2° ) Expliquer le terme de déphaseur pour ce circuit . Rép : 1° ) u 2/u1=(1-jRCω)/(1+jRCω) 2° ) On l’appelle déphaseur car il a gain constant mais entraîne un déphasage. III – Impédance itérative 1° ) On considère le circuit suivant. On place en so rtie une impédance complexe égale à Z0. Montrer que, sous certaines conditions, l’impédance équivalente vue à l’entrée du filtre peut être égale à Z0. Lorsque cette impédance est choisie , elle porte le nom d’impédance itérative. 2° ) Exprimer l’impédance équivalente à l’entrée si on aligne n cellules identiques et si la dernière cellule est chargée par l’impédance itérative. 3° ) Exprimez l’impédance complexe itérative, si Z 1 et Z2 sont l’impédance d’une bobine idéale d’inductance propre L/2 et si Z3 est l’impédance d’un condensateur de capacité C. Montrer qu’il existe une pulsation critique en dessous de laquelle l’impédance itérative est résistive pure. Que devient l’impédance itérative si la pulsation est supérieure à cette pulsation critique. Rép : 1° ) Z 0 doit être solution d’un polynôme du second degré. 2° ) Z tot=Z0 3° ) Si ω<ωc=2/√(LC) alors Z0=±√(L/C-L²ω0 2/4)et si ω>ωc alors Z0±=±j√(-L/C+L²ω0 2/4) L.PIETRI – Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé - Lycée Henri Loritz – PCSI 2 IV – Etude d’un circuit bouchon Un circuit bouchon est constitué d’une bobine (L,r) montée en parallèle sur un condensateur C. Le circuit, accordé sur f0=1MHz (fréquence de résonance) avec un facteur de qualité Q=200, est attaqué en tension par un générateur de fem efficace E=10mV. L’impédance en continu du circuit est r=2Ω.Déterminer : 1° ) la valeur de l’inductance L de la bobine et cel le de la capacité C du condensateur. 2° ) l’impédance Z 0=Z(ω0) de ce circuit à la résonance. 3° ) la valeur efficace, à la résonance, des intensi tés IL et IC dans les deux branches du circuit ainsi que celle du courant I débité par le générateur. 4° ) le rapport Z (ω)/Z(ω0) pour ω-ω0/ω0<<1 et montrer qu’il s’exprime simplement en fonction de Q et de ∆ω/ω0=(ω-ω0)/ω0. Rép : 1° ) L=rQ/ ω0=63,7µH et C=1/rQω=400pF 2° ) Z 0≅rQ²=80kΩ 3° ) I L≅E/rQ=25µA, Ic≅E/rQ=25µA et I=E/rQ²=125nA d’où IL=IC=QI. 4° ) Pour ω-ω0/ω0<<1, Z(ω)/Z(ω0)=1/(1+2jQ∆ω/ω0). V – Pont de Nernst, Maxwell et Sauty Soit un pont de Wheatstone alimenté par une tension alternative de fréquence f=ω/2π. 1° ) Etablir la relation entre Z 1, Z2, Z3, Z4 qui traduit la condition d’équilibre du pont. 2° ) Pont de Nernst : mesure d’une fréquence L’impédance Z1 est constitué d’une capacité C1 en série avec une résistance R1, Z2 est constitué de C2 en parallèle avec R2 et Z3=R3 ,Z4=R4. a) Montrer que l’équilibre du pont est obtenu pour une seule valeur de ω : ω0 que l’on exprimera en fonction de R1, R2, C1 & C2. b) On choisit R1=R2=R & C1=C2=C. Montrer que ce pont permet de mesurer la fréquence f de la tension alternative. 3° ) Pont de Maxwell : Mesure d’une inductance. Z1=(L1,R1), Z2=R2, Z3=C3 en parallèle avec R3 & Z4=R4 Déterminer la résistance R1 et l’inductance L1 en fonction de R2, R3, R4 & C3 à l’équilibre. 4° ) Pont de Sauty : Mesure d’une capacité. (Voir le schéma) Déterminer la capacité C1 & la résistance de fuite Rf1 du condensateur uploads/Ingenierie_Lourd/ exercice-devoir-1.pdf