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classifications des equations aux derivees partielles edp

- Classi ?cations des équations aux dérivées partielles EDP - Dé ?nitions Une équation aux dérivées partielles E D P est une relation faisant intervenir les variables indépendantes x ? ? xn la fonction u et ses dérivées partielles Par exemple si u est une fonction de deux variables une E D P peut s'écrire par la relation On appelle ordre de l'E D P l'ordre le plus élevé des dérivées partielles intervenant dans l'E D P par exemple ux y ? uxx ? xuyy ? ux ? u ? c ? est d'ordre uxx ?? uyy ? uxy ?? c ? est d'ordre L'E D P est dite linéaire si f est linéaire par rapport à ses arguments u et ses dérivées partielles et si les coe ?cients qui les lient ne dépendent que de x y sinon elle est non linéaire Par exemple l'E D P du second ordre al uxx a uxy a uyy a ux a uy a u a I- est linéaire si les ai ne dépendent que de x y C - Classi ?cation mathématique des E D P linéaires du nd ordre cas de deux variables indépendantes De très nombreux phénomènes physiques se traduisent par des E D P linéaires du second ordre du type I qui peuvent s'écrire sous la forme a uxx b uxy c uyy d I- o? a b et c ne dépendent que de x y et d est une fonction linéaire de x y u ux uy Il y a trois types d'équations aux dérivées partielles représentés par l ? équation I Lorsque la quantité ? b - ac l'équation I est dite du type elliptique Lorsque ?? ? ?? ? elle est dite du type parabolique Lorsque ? ?? ? elle est dite du type hyperbolique Cette appellation est faite par analogie avec l'équation générale du second ordre en géométrie analytique a x b xy c y d I- ? ? Ainsi selon le signe du discriminant b - ac nous obtenons di ?érentes formes géométriques C - Classi ?cation mathématique dans le cas général n variables indépendantes Si u est une fonction de n variables indépendantes les E D P linéaires du second ordre sont du type Si tous les ai sont non nuls et de même signe l'E D P est de type elliptique Si tous les ai sont non nuls et sont à une exception près de même signe l'E D P est de type hyperbolique Si un seul des ai est nul noté ai et tous les autres de même signe et si bi est non nul l'E D P est de type parabolique Les fonctions ai et bi étant dépendantes des variables xl ? xn la classi ?cation est évidemment fonction du point xl ? xn considéré Une E D P peut donc être de di ?érents types suivant les points considérés on dit qu'elle est de type mixte CExemples Soient U x y une fonction de deux variables et V