Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Ministere De L'enseignement Supérieur Et De La Recherche Scientifique Universit

Ministere De L'enseignement Supérieur Et De La Recherche Scientifique Université Djillali Liabes De Sidi Bel Abbes Faculté Des Sciences Et Technologie Département De Génie Mécanique Spécialité Énergétique 1er année Master Module : Mécanique des fluides approfondie Présenté Par : - Kebbab Anes Abdellah - Heneien-djeloul-sayah kada ilies - Haffad Sara Année Universitaire : 2021-2022 Ecoulement de stokes (autour d'une sphere) 1/ Introduction : La condition à la limite habituelle sur une paroi pour un fluide visqueux est la condition de non glissement, mais une condition aux limites de glissement doit être utilisée pour des liquides proches de surfaces hydrophobes et de surfaces poreuses ou dans un gaz à petite échelle (la longueur de glissement étant alors le libre parcours moyen). Diverses applications sont en vue, par exemple des procédés de séparation par ultrafiltration, fractionnement flux-force, de nouvelles techniques de mesure de vitesse à des échelles très petites au voisinage de surfaces. On s’intéresse dans cet article au calcul de la force et du couple pour le problème d’une particule sphérique en translation et rotation dans un écoulement de cisaillement au voisinage d’une paroi plane sur laquelle s’applique une condition de glissement. 2/ Schéma de écoulement de stokes (autour d'une sphère) : 3/ Equations et développement limité : On considère un fluide visqueux newtonien incompressible dans un domaine semi-infini limité par une paroi plane. Soit (ox, oy, oz) un repère orthonormé lié à la paroi où z = 0 et soient ex, ey, ez les vecteurs unitaires de ce repère. Une sphère de rayon a dont le centre est situé à une distance ℓ de la paroi est en mouvement avec une vitesse de translation U ex et une vitesse de rotation Ω ey dans un écoulement de cisaillement. La condition pour la vitesse de l’écoulement perturbé u sur la sphère est la condition de non- glissement alors qu’une condition de glissement est imposée sur la paroi : u=b( ∂ux ∂z ex+ ∂u y ∂z e y) (1) Où b est la longueur de glissement. La vitesse de l’écoulement non perturbé satisfait la condition de glissement, u∞ = k(z + b)ex où k est une constante (taux de cisaillement). Le nombre de Reynolds basé sur le rayon de la particule est petit. Par linéarité des équations de Stokes, le problème d’une sphère en rotation et en translation dans un écoulement de cisaillement se décompose en :(i) sphère en translation avec la vitesse U ex parallèle à la paroi ; (ii) sphère en rotation avec la vitesse Ω ey parallèle à la paroi ; (iii) sphère fixée dans un écoulement de cisaillement k(z + b)ex. Pour chaque problème d’écoulement, par linéarité, la force et le couple sont proportionnels aux vitesses. En utilisant les mêmes notations que dans [1] : Fx t=−6 πaµU f xx t C y t =8 π a 2µk c yx t (2a) Fx r=−6 π a 2µΩf xy r C y r=−8 π a 3µΩc yy r (2b) Fx c=−6 πal µk f xx c C y c=4 π a 3µk c yx r (2c) Où f et c sont les coefficients de frottement. Les indices de translation, rotation et cisaillement sont respectivement ()t, ()r, ()c. Le premier indice est la composante de la force et du couple et le second indice est la direction de l’écoulement non perturbé. Lorsque ℓ tend vers l’infini, les coefficients des frottements C yx t et f xy r tendent vers 0 et les autres coefficients de frottement tendent vers l’unité, d’après les formules de Faxen (cf par exemple [4]). Nous utilisons ici une méthode de résolution des équations de Stokes basée sur la technique des coordonnées bisphériques. Le passage des coordonnées cylindriques (ρ, z, φ) (avec x = ρ cos φ et y = ρ sin φ) aux coordonnées bisphériques (ξ, η, φ) s’écrit : ρ= c sin η cosh ξ−cos η z= c sin hξ cosh ξ−cosη c = (ℓ2 − a2)1/2. (3) Avec 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ η ≤ π et 0 ≤ ξ ≤ α. Ici, ξ = α et ξ = 0 représentent respectivement la surface de la sphère et le plan. La solution générale des équations de Stokes en coordonnées bisphériques s’écrit uρ=1 2 {ρQ1+U 0+U2}cosφ uz=1 2 {z Q1+2U1}cosφ (4a) uφ=1 2 {U 2−U0}sin φ p = µQ1 cos φ (4b) Ou : U1=c M (coshξ−β )1/2sin η∑ n≥1 Ansinh ⁡ (γ nξ)P ' n(β) (5a) Q1=c M−1(cosh ξ−β )1/2sin η∑ n≥1 [B¿¿ncosh (γ nξ )+Cnsinh ⁡(γ nξ)]P ' n(β)¿ (5b) U0=c M (cosh ξ−β )1/2∑ n≥0 [ D¿¿ncosh ⁡(γ nξ)+ Ensinh ⁡(γ nξ)] Pn(β)¿ (5c) U2=c M (coshξ−β)1/2sin 2η∑ n≥2 [ F¿¿ncosh ⁡(γ nξ)+G nsinh ⁡(γ nξ)]P} rsub {n} (β)¿¿¿ (5d) Où β = cos η, γn = n + 1/2, Pn(β) sont les polynômes de Legendre d’ordre n et le prime (′) indique la dérivée par rapport à β. L’entier M prend les valeurs M = 0 pour la translation et M = 1 pour la rotation et le cisaillement. Pour chaque problème, les coefficients sans dimension An, . . . Gn sont obtenus à partir des conditions aux limites et de l’équation de continuité ∂ux ∂x + ∂u y ∂y + ∂uz ∂z =0. Il est important de noter qu’en dérivant cette dernière équation et en utilisant(1), on obtient alors une autre relation sur le plan : ∂uz ∂z =b ∂ 2uz ∂d 2 Cette relation nous permet d’obtenir une solution plus simple pour la translation et la rotation. En effet, on peut alors exprimer les solutions de chaque problème en fonction de seulement quatre séries de coefficients : An, Cn, En et Gn. Nous traitons par la même technique le problème de cisaillement. Nous utilisons dans les équations (7)-(9) un indice i (figurant à droite de toutes les relations) qui vaut, 1 pour la translation, 2 pour la rotation et 3 pour le cisaillement. Les quatre équations auxquelles satisfont les quatre séries de coefficients s’écrivent alors : (n−1)−¿¿ (7) −2n−1−2 qn −¿ 2 (2n−1) An−1+2n+3−2 qn +¿ 2 (2n+3) An+1+ λ 4cˆ C n−1−λ 4cˆ Cn+1−λ (n−2) 2cˆ G n−1−−2 λn+λ+2cˆtanh 2cˆ (8) n(n−1)¿¿ (9) Avec l’équation de continuité : 5 2 Cn−1 2 (n−1 )Cn−1+ 1 2 (n+2)Cn+1−1 2 En−1+En−1 2 En+1+ 1 2 (n−2) (n−1)Gn−1−(n−1)(n+2)Gn+ 1 2 (n+2) (n+3)Gn (10) δ représente ici le symbole de Kronecker. On définit aussi les quantités sans dimension λ =b/a, cˆ = c/a,qn ± tanh(γnα) coth α ± 1 et ζ n= 1 2√2[ e −γ n−1α γ n−1 −e −γ n−1α γ n+1 ](11) Kn 1= 2√2e −γ nα cosh ⁡ (γ nα) ;kn 2=βn qn −¿ sinh ⁡(γ n−1α)−2√2γ ne −γn α cosh (γ nα ) ; K n 3=4√2γ ne −γnα cosh (γ nα ) + 2 λ cˆ cosh (γ nα ) ¿ (12) 4/ Conclusion : Nous avons obtenu des expressions analytiques pour la force et le couple qui s’exercent sur une sphère en translation et rotation dans un écoulement de cisaillement au voisinage d’une paroi plane sur laquelle s’applique une condition de glissement. Nous avons utilisé pour ce faire la méthode des coordonnées bisphériques. La solution débouche sur un système matriciel infini qui permet de déterminer des séries de coefficients inconnus. Nous avons établi une technique numérique (écrite en langage FORTRAN) qui permet d’obtenir un nombre assez important de ces coefficients. Pour les trois problèmes de cisaillement avec sphère fixée, de sphère en rotation et translation au voisinage d’une paroi plane, nous obtenons une précision de 10−7 pour la force et le couple, même pour de très petites distances particule- paroi de l’ordre de 10−3. Les vitesses de translation et de rotation d’une sphère libre dans un écoulement de cisaillement sont obtenues avec une précision de 10 −7.Ces résultats pourront s’appliquer par exemple à la dispersion de particules près d’une paroi sur laquelle s’applique une condition de glissement. uploads/Ingenierie_Lourd/ expose-mdf.pdf