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1 Chapitre 14-Flambement-Poutre-colonne Commentaire: Pour fins académiques, la

1 Chapitre 14-Flambement-Poutre-colonne Commentaire: Pour fins académiques, la méthode appliquée ici au calcul des poutres- colonnes est une version simplifiée de la norme ACNOR S16.1-94. Pour des applications pratiques, il faudra se référer à la norme en vigueur dont l’application est beaucoup plus complexe que la méthode présentée dans le cours MEC2400. Exemple 1 La figure a) illustre le chargement agissant sur une poutre-colonne. La figure b) montre la section tubulaire de cette poutre-colonne et les propriétés de la section. Le matériau est un acier ( E= 200 000 MPa; SY = 300 MPa ) qui n’a pas été traité pour relâcher les contraintes résiduelles. En considérant un coefficient de tenue égal à 0,9 et un facteur de pondération de la charge égal à 1,5, vérifiez si cette membrure possède une capacité suffisante en flambement. A = 3456 mm2 (hachurée) Iz = 17,94 x 106 mm4 Sz = 179,4 x 103 mm3 rz = 72,05 mm Iy = 5,99 x 106 mm4 Sy = 119,8 x 103 mm3 ry = 41,63 mm 2 1. Analyse du comportement Il y a de la flexion dans les deux plans. Analysons les diagrammes de V et M dans les deux plans pour déterminer les valeurs maximales de My et Mz . Plan x-y ( Flexion autour de l’axe z ) Plan x-z ( Flexion autour de l’axe y ) Mz max = wL2/ 8 = 6 kN.m My max = FL/4 = 3,6 kN.m (on prend la valeur absolue de My max et on calculera la contrainte en compression correspondante) C= 1,5 x 200 kN= 300 kN Mz = 1,5 x 6 kN.m = 9,0 kN.m My = 1,5 x 3,6 kN.m = 5,4 kN.m 2. Capacité de résistance de la membrure AB en compression pure a) dans le plan x-y (flexion autour de z) : rotule-rotule, déplacement latéral bloqué ; k = 1.0 52 , 55 05 , 72 4000 x 0 , 1 r kL z = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ b) dans le plan x-z (flexion autour de y) : rotule-rotule, déplacement latéral bloqué ; k = 1.0 08 , 96 63 , 41 4000 x 0 , 1 r kL y = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Lorsqu’il y a de la flexion dans les deux plans, il faut choisir la plus grande valeur de (kL/r), ce qui mène à la plus faible valeur de la résistance Cr. 3 185 , 1 MPa 10 x 200 x MPa 300 1 , 96 E S r kL 3 2 2 Y = π = π = λ N k 460,52 N 10 x 460,52 N 1,576) 1 ( 10 x 933,1 ) 185 , 1 1 ( mm N 300 x mm 3456 x 9 , 0 ) 1 ( S A C 3 0,746 - 3 34 , 1 1 34 , 1 x 2 2 2 n 1 n 2 Y r ≡ = + = + = λ + ϕ = − − 3. Capacité de résistance de la membrure AB en flexion seulement a) Plan x-y (flexion autour de l’axe z) ; k =1,0 157 , 1 N k 2213,3 kN 300 1 1 P C 1 1 F N k 2213,3 N 10 x 2213,3 mm) 4000 x (1,0 mm 10 x 17,94 x MPa 10 x 200 x ) kL ( I E P m . kN 44 , 48 mm . N 10 x 44 , 48 mm N 300 x mm 10 x 4 , 179 x 9 , 0 S S M z / cr z / amp 3 2 4 6 3 2 2 z 2 z / cr 6 2 3 3 Y z rz = − = − = ≡ = π = π = = = = ϕ = b) Plan x-z (flexion autour de l’axe y) ; k =1,0 683 , 1 N k 739 kN 300 1 1 P C 1 1 F N k 739 N 10 x 738,98 mm) 4000 x (1,0 mm 10 x 5,99 x MPa 10 x 200 x ) kL ( I E P m . kN 32,34 mm . N 10 x 34 , 32 mm N 300 x mm 10 x 8 , 119 x 9 , 0 S S M y / cr y / amp 3 2 4 6 3 2 2 y 2 y / cr 6 2 3 3 Y y ry = − = − = ≡ = π = π = = = = ϕ = 4. Capacité de résistance de la membrure AB chargement le supporter pour capacité la pas a n' structure La 0 , 1 147 , 1 281 , 0 215 , 0 651 , 0 m kN 34 , 32 m kN 4 , 5 x 683 , 1 m . kN 44 , 48 m . kN 9 x 157 , 1 kN 52 , 460 kN 300 0 , 1 M M F M M F C C ry y amp/y rz z amp/z r ≥ = + + = − − + + ≤ + + 4 Exemple 2 La figure a) illustre en isométrique un cadre composé d’une poutre rigide BC de 4 m de longueur et de deux colonnes identiques AB et CD de type W 200 X 52 (voir Fig. b) ayant 5 m de longueur. Les connexions entre la poutre BC et les colonnes sont rigides. Les bases A et D des deux colonnes sont montées sur des rotules et leurs extrémités B et C sont supportées latéralement dans la direction de l’axe z par des haubans BF, BE, CH et CG. La poutre supporte une charge verticale uniformément répartie wx = 150 kN/m et les colonnes AB et DC sont soumises à la force du vent wy = 1 kN/m. Les propriétés du matériau des membrures AB et CD sont : E = 200 000 MPa ; ν = 0,3 ; G = 76 900 MPa ; SY = 400 MPa Le matériau n’a pas été traité pour relâcher les contraintes résiduelles. En considérant un coefficient de tenue égal à 0,9 et un facteur de pondération de la charge égal à 1,5, vérifiez si cette structure possède une capacité suffisante en flambement. Propriétés géométriques de la membrure de type W200 x 52 x A = 6660 mm2 Iz = 52,7 x 106 mm4 Sz = 527,0 x 103 mm3 rz = 89,0 mm Iy = 17,8 x 106 mm4 Sy = 178,0 x 103 mm3 ry = 51,7 mm Fig. a) Fig. b) wx = 150 kN/m wy= 1 kN/m 5 Fig. c) Réactions (voir calculs à la page suivante) et déformée de la structure Fig. d) Flexion dans le plan x-y : diagrammes de Vy et de Mz Déformée Analyse du comportement FCx = 6 1. .Analyse du comportement Charge axiale et flexion autour de l’axe z seulement (pas de flexion autour de l’axe y). 5 x 1 x 2 R R 0 F kN 293,7 kN 306,3 - 600 R 4 x 150 R R 0 F kN 3 , 306 R 5 , 2 x 5 x 1 x 2 2 x 4 x 150 R 4 0 M Dy Ay y Ax Dx Ax x Dx Dx A − + = = = = ⇒ − + = = = ⇒ − − = = ∑ ∑ ∑ On ne peut déterminer RAy et RDy directement avec les équations d’équilibre car le problème est hyperstatique. En le résolvant à l’aide de Castigliano, on trouvera que RAy = RDy = 5 kN. Cependant, par inspection de la déformée à la figure c), on constate que les deux colonnes se comportent de la même manière et on peut en déduire que RAy = RDy = 5 kN Les diagramme de l’effort tranchant et du moment fléchissant (voir fig. d) permettent d’obtenir la valeur maximale de Mz = 12,5 kN.m (en valeur absolue). Afin de simplifier les calculs, nous considérerons que la force axiale est la même dans les deux colonnes et égale à 300 kN C= 1,5 x 300 kN= 450 kN Mz = 1,5 x 12,5 kN.m = 18,75 kN.m My = 0 Commentaire : la structure se comporte comme une poutre- colonne dans le plan x-y seulement ; dans le plan x-z, elle se comporte comme une colonne. 2. Capacité de résistance en compression pure a) dans le plan x-y (flexion autour de z et plan où la structure est une poutre-colonne) : encastrement-rotule avec déplacement latéral permis ; k= 2,0 4 , 112 0 , 89 5000 x 0 , 2 r kL z = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ b) dans le plan x-z (flexion autour de y et plan où la structure agit comme colonne seulement) : rotule-rotule avec déplacement latéral bloqué ; k = 1,0 71 , 96 7 , 51 5000 x 0 , 1 r kL y = = ⎟ ⎠ uploads/Ingenierie_Lourd/ instaflambe-probpoutre-colonne-v2.pdf