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MATHEMATIQUES POUR L’INGENIEUR VII Support du cours donné en 1re année par Mari

MATHEMATIQUES POUR L’INGENIEUR VII Support du cours donné en 1re année par Marietta Manolessou EISTI - Département Mathématiques Année 2004-2005 Table des matières Transformation de Laplace 121 7 Transformation de Laplace - Applications 121 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2 Transformation de Laplace (déﬁnition - propriétés) . . . . . . 121 3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2 Relation entre F(η) (transformée de Fourier) et L(p) (transformée de Laplace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3 Propriétés de la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 126 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6 Dérivées de L(p) dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7 Primitives (Transformée de Laplace d’une intégrale) . . . . . 129 8 Original de L(p) - Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4 Applications de la transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . 130 1 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Table des ﬁgures 7.1 Plan p = ξ + jη Plan (t,y = f(t)) 123 121 Chapitre 7 Transformation de Laplace - Applications 1 1 Dans ce deuxième chapitre de l’introduction à la théorie de la mesure et comme meilleure illustration de l’intégrale de Lebesgue, (v. cours précédent), on s’intéresse au concept mathématique bien important pour ses applications : La transformation de Laplace. Cette opération constitue un outil mathématique équivalent à celui de la transforma- tion de Fourier (ne serait-ce que plus approprié dans certains cas) pour les sciences de l’ingénieur. Dans la première partie du cours, après la déﬁnition et la mise en évidence de la relation avec la transformation de Fourier, on présente les propriétés fondamen- tales de la transformée de Laplace. La deuxième partie contient les applications les plus importantes de la transformation de Laplace : Résolution d’équations et de systèmes différentiels ou integrals 2 Transformation de Laplace (déﬁnition - propriétés) Déﬁnition 1.1 (Existence de la transformée de Laplace) On considère une fonction numérique f : R+ →R La transformation de Laplace L, est une application linéaire qui à f associe la fonction : L[f] = L(p) (de la variable complexe p ∈C) déﬁnie par l’intégrale, L(p) = Z ∞ 0 e−ptf(t)dt ; (où p = ξ + iη, (ξ,η) ∈R2 i2 = −1) (1.2.1) Lorsque l’intégrale existe au sens de Lebesgue 1, la fonction L(p) ainsi bien déﬁnie est appelée la transformée de Laplace. Notations équivalentes : L[f(t)] ⇔Lf(p) ⇔L(p) ⇔Lf(p) ⇔L[f](p) 1. Voir cours précédent 122 EISTI-1re année-Support du Cours Maths. par M.Manolessou Voici d’abord une condition sufﬁsante de l’existence de L(p). Théorème 1.1 Soit f une fonction mesurable déﬁnie sur R+ et soit : p = ξ + iη((ξ,η) ∈R2) Si la fonction t 7→e−ptf(t) est intégrable (au sens de Lebesgue) pour une valeur p0 = ξ0 + iη0, alors elle est intégrable dans tout le demi-plan complexe déﬁni par ξ ≥ξ0. Preuve On a: |e−ptf(t)| ≤e−ξt|f(t)| ≤e−ξ0t|f(t)| ∀p tel que ξ ≥ξ0 . Donc la fonction e−ptf(t) est majorée dans le demi-plan ξ ≥ξ0, par une fonc- tion intégrable ; par application d’une des propriétés de dominance 2 de l’intégrale de Lebesgue on obtient que e−ptf(t) est aussi intégrable (c.q.f.d.). Conséquences i) D’après le résultat précèdent, l’ensemble des nombres réels tels que l’intégrale 1.2.1 soit convergente est une demi-droite qui a une des formes suivantes : ]ξ0, + ∞[, [ξ0, + ∞[, ] −∞, + ∞[ ou le ∅. On appelle ξ0 l’abscisse de convergence de L(p). Le demi-plan ξ0 ≤ξ est appelé demi-plan de convergence de L(p). ii) Pour que L(p) soit bien déﬁnie, il sufﬁt qu’il existe deux nombres réels µ > 0 et k t.q. : |f(t)| ≤µ ek.t ∀t ∈R+ (1.2.2) Alors l’intégrale 1.2.1 existe dans le demi-plan de C déﬁni par ξ > k. 3 Exemples 1) Considérons la fonction exponentielle :f : R+ →R déﬁnie par: f(t) = ( e−at si t ≥0 0 si t < 0 a ∈R (1.3.3) D’après le critère 1.2.2, k = −a et L(p) existe si ξ + a > 0. Dans le cas plus général où a ∈C on peut aussi écrire la condition sous la forme Re(p + a) > 0. Calculons L(p) en supposant vraie cette condition de convergence. L(p) = R ∞ 0 e−ate−ptdt = lim X→+∞−[e−(a+p) a + p X ] 0 = lim X→+∞−e−(a+p)X p + a + 1 p + a (1.3.4) 2. On fait appel à une des propriétés des intégrales de Lebesgue analogue à celle qui existe pour les intégrales de Riemann : soit E un ensemble mesurable si f est mesurable et majorée |f| ≤g par une fonction g intégrable par rapport à la mesure µ ⇒f est intégrable et R E |f|dµ ≤ R E g dµ. Transformée de Laplace-Applications 123 Or le terme e−(a+p)X p + a →0 pour X →∞car Re(p + a) > 0 ⇒L(p) = 1 p + a ⇒Ensemble de déﬁnition de L(p) : DL =C −{−a} Faisons maintenant l’interprétation géométrique du cas intéressant en Physique : Rea ∈R+∗(cas particulier de l’exemple a = 2) La valeur p0 = −a = −2 (racine du dénominateur de L(p)) est une "singularité" pour L(p) si Rea > 0. ⇔La fonction f(t) est décroissante exponentiellement. FIG. 7.1 – Plan p = ξ + jη Plan (t,y = f(t)) D’après les deux ﬁgures ci-dessus, on voit que pour l’exemple du cas (a = 2) Rea > 0 les racines (ou “singularités” ou “pôles” de L(p) du dénominateur de L(p) ayant une partie réelle négative (v. ex : la droite ξ0 = −2) correspondent à un compor- tement très important physiquement de la fonction “originale” f(t) : Elle décroît exponentiellement. En physique, c’est souvent l’amplitude de diffusion, ou la réponse d’un signal qui doit avoir ce bon comportement. Conclusion à retenir Décroissance exponentielle de f(t) (stabilité du système physique) ⇔“Singularité” de L(p) (ξ0,η0) au demi-plan négatif : ξ0 < 0 124 EISTI-1re année-Support du Cours Maths. par M.Manolessou 1 - Exemple - cas particulier de 1) Si a = 0 alors, f(t) = 1 et d’après (1.3.4) L[1] = 1 p (Rep > 0) (1.3.5) 2 - Transformée de Laplace des fonctions e±iωt Comme application encore de l’exemple 1) on obtient (de (1.3.4)) a) Si a = iω, ω ∈R ⇒L[e−iωt] = 1 p + iω b) Si a = − iω, ω uploads/Ingenierie_Lourd/ la-place.pdf