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MÉTROLOGIE ET PLANS D’EXPÉRIENCE Département Génie Mécanique – École Mohammadia

MÉTROLOGIE ET PLANS D’EXPÉRIENCE Département Génie Mécanique – École Mohammadia d’Ingénieurs Université Mohammed V EL ATIFE Khalid elatife@emi.ac.ma 2021-2022 1 Chapitre III: Méthode da Taguchi 2 I- Introduction ■Le modèle de Taguchi est basé sur un modèle du premier interaction avec interaction mais ne prend pas en compte les interactions d’ordre 3 et supérieur. 3 II- Origine des tables de Taguchi ■En plus du modèle Taguchi nous utiliserons des matrices qui sont à la base des plans d’expérience Taguchi. Ce sont les matrices d’Hadamard Hn qui sont des matrices carrées n.n, d’élements 1 ou -1 telles que . Ils sont définis par récurrence par: 4 Exemple de H4 et H8: 5 III- Matrices d’expériences de Taguchi ■Les modèles mathématiques et les graphes associés à ces modèles: Pour pouvoir utiliser les tables de Taguchi, il faut d'abord choisir un modèle mathématique qui est censé permettre de piloter le processus étudié. Exemple: Y = M + EA + EB + EC + IBC Ce choix, bien sûr doit se faire après avoir mis en évidence que les facteurs A, B, C ont suffisamment d'effet sur ce processus pour en permettre le pilotage. De même, une ou deux mesures préalables auront permis de mettre en évidence que l'effet de B dépend de la valeur de C et inversement. 6 A ce modèle mathématique, on va pouvoir associer un graphe: Dans ce graphe, chaque cercle correspond à un facteur, chaque trait correspond à une interaction. Un trait entre le facteur B et le facteur C représente l'interaction BC. Apparemment, d'après ce graphe il sera difficile de changer souvent les niveaux de valeurs de A, B, et C (voir symboles et explications ci-dessous). 7 B C A BC Symbole Groupe Difficulté de modification 1 Difficile 2 Assez difficile 3 Assez facile 4 Facile Les graphes de Taguchi  Les tables de Taguchi sont en général accompagnées de graphes qui illustrent les différentes utilisations possibles de ces tables. Le lien entre les tables et les graphes se fait par l'intermédiaire des N° de colonnes.  Dans un graphe de Taguchi, un facteur est représenté par un ou deux cercles concentriques. Il existe en fait quatre symboles possibles. Chaque symbole est associé à la difficulté que l'on aura à changer la valeur du facteur (voir diapo. précédent).  Exemple: si un facteur A pour passer de la valeur 1 à la valeur 2 oblige à vidanger une cuve de 500 litres, il est évident que l'on a tout intérêt à ne vidanger cette cuve qu'une seule fois pendant tout le plan d'expérience. Le plan d'expérience retenu devra mettre en évidence qu'une seule vidange est réalisée pour faire toutes les mesures. Toute colonne du plan d'expérience qui ne traduit qu'un seul changement de valeur pendant tout le plan d'expériences sera dite du groupe 1. 8  Plus le numéro de groupe est élevé, plus le nombre de changements de niveaux de valeurs sera important. Cette symbolique aura son importance lorsque nous chercherons à placer les effets et les interactions dans les différentes colonnes de la table de Taguchi. Les graphes de Taguchi, associés aux différentes tables sont regroupés par familles. La différence dans chacune des familles dépend de la difficulté ou non que l'on aura à faire varier le niveau de valeur du facteur considéré.  Avant de définir comment on choisit une table de Taguchi, il faut noter qu'il sera nécessaire ensuite de trouver le graphe de Taguchi qui se rapprochera le plus le graphe du modèle choisi, pour obtenir la meilleure efficacité. 9 Etude de la table L4 Cette table L4, dite aussi 23, est une table qui présente 3 colonnes, mais qui en fait en contient 4 et chaque colonne ne contient que des alternances de 1 et de 2. la colonne qui n'apparaît pas est celle qui permet de calculer la moyenne et qui ne contient que des 1. Cette table est accompagnée d'un graphe de Taguchi: 10 L4 N° 1 2 3 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 1 2 4 2 2 1 Exemple A B AB Groupe 1 2 2 Colonnes 1 2 3  Ce graphe met en évidence que cette table est appropriée pour un plan d'expérience à 2 effets et une interaction. Donc comme le précise l'exemple, pour un modèle de la forme: Y = M + EA + EB + IAB  Il s'agit donc à priori d'une table pour un plan complet à deux facteurs prenant chacun deux niveaux de valeurs. Comment fait on pour identifier que le facteur A sera dans la colonne N°1, B dans la colonne N°2 et l'interaction AB dans la colonne N°3 ?  Il s'agit en fait d'une seule proposition donnée par Taguchi, mais ce n'est pas la seule. Si on veut bien admettre que: 11 Rappel : 1 * 1 = 1 2 * 2 = 1 1 * 2 = 2 2 * 1 = 2  Nous noterons que, en mettant A dans la colonne N°1 et B dans la colonne N°2, la colonne N°3 contient toujours le résultat du produit des valeurs des deux premières. Elle contient bien l'interaction AB.  On aurait pu, tout aussi bien mettre A dans la colonne N°2 et B dans la colonne N°3 et on aurait vérifié que, pour chaque ligne, valeur de A* valeur de B = valeur contenue dans la colonne N°1, c'est-à-dire valeur de l'interaction AB.  Pour chacune de ses tables, Taguchi propose de positionner les effets et les interactions dans certaines colonnes, mais ce n'est pas la seule solution, on peut en créer d'autres. 12 Etude de la table L8:  Comme pour la table L4, la table L8, est une table qui présente 7 colonnes, mais qui en fait en contient 8 et chaque colonne ne contient que des alternances de 1 et de 2. 13 L8 N° 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 6 2 1 2 2 1 2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 8 2 2 1 2 1 1 2 Exemple A B AB C AC BC ABC Groupe 1 2 2 3 3 3 3 Colonnes  Encore une fois, Taguchi propose de disposer les effets et les interactions dans un certain ordre, mais ce n'est pas le seul possible. Pour pouvoir trouver d'autres solutions, il fournit un tableau qui s'appelle le triangle des interactions et qui permet en faisant une ou deux hypothèses, notamment sur la localisation des effets, d'en déduire la position des interactions associées. 14 A B AB C AC BC ABC Colonne 1 2 3 4 5 6 7 A 1 (1) 3 2 5 4 7 6 B 2 (2) 1 6 7 4 5 AB 3 (3) 7 6 5 4 C 4 (4) 1 2 3 AC 5 (5) 3 2 BC 6 (6) 1 Triangle des interactions Ce choix de positionnement des effets et des interactions correspond au graphe de Taguchi suivant: Ce graphe convient tout à fait pour un modèle à 4 effets et 3 interactions de la forme: Y = M + EA + EB + EC + ED + IAB + IAC + IBC 15 1 7 2 4 3 5 6 Mais Taguchi propose un autre agencement des effets et des interactions, avec le graphe suivant: Ce graphe de Taguchi convenant pour un modèle de nouveau à 4 effets et 3 interactions de la forme: Y = M + EA + EB + EC + ED + IAB + IAC + IAD On pourrait se poser la question suivante: Mais d'où vient le D? 16 1 2 4 7 3 5 6 ■ En fait, il faut savoir que les tables de Taguchi sont associées à des plans fractionnaires et que par conséquent, il y a plusieurs termes dans chaque colonne, dès que le nombre de facteurs dépasse celui du plan complet. Apparemment, Taguchi préconise de mettre le facteur D dans la colonne N°7, donc avec l'interaction du second ordre ABC. Ce qui génère une relation d'aliase: D = ABC Avec ses équivalents: M = ABCD (la 8ème colonne qu'on ne voit jamais) A = BCD B = ACD C = ABD AB = CD AC = BD AD = BC 17 ■ Ce que pouvait aussi nous donner le triangle des interactions suivant: ■ Ce plan à 4 effets et 3 interactions aurait été un plan 24 s'il avait été complet, c'est- à-dire un plan à 16 lignes et 16 colonnes. Ne possédant que 8 lignes et 8 colonnes (avec celle qu'on ne voit pas), il s'agit donc d'un plan fractionnaire 2(4-1). ■ Il y a donc, pour ce graphe retenu, deux termes par colonne. 18 BCD ACD CD ABD BD AD D A B AB C uploads/Ingenierie_Lourd/ me-trologie-et-plans-d-x27-expe-rience-ch-3-me-thode-de-taguchi.pdf