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1 1 Cycle Intégré Préparatoire Cycle Intégré Préparatoire aux Formations d’Ingé

1 1 Cycle Intégré Préparatoire Cycle Intégré Préparatoire aux Formations d’Ingénieurs aux Formations d’Ingénieurs École Nationale des Sciences Appliquées Marrakech COURS DE MÉCANIQUE DES SYSTÈMES DE SOLIDES INDÉFORMABLES Pr Pr M.Bourich M.Bourich Filière: Filière: Enseignements Généraux et Techniques (EGT) Enseignements Généraux et Techniques (EGT) Niveau: Niveau: Cycle Intégré Préparatoire II Cycle Intégré Préparatoire II Semestre: Semestre: S4 2 2 Cycle Intégré Préparatoire Cycle Intégré Préparatoire aux Formations d’Ingénieurs aux Formations d’Ingénieurs École Nationale des Sciences Appliquées Marrakech BIBLIOGRAPHIE Mémoires couronnés par l’académie royale des sciences et belles-Lettres de Bruxelles, tome XI, chapitre VI, 1873. Luis Figuier, Les Merveilles de la science ou description populaire des inventions modernes, Librairie Furne, Editeurs Jouvet et Cie, Tome 1 des suppléments, 1891 P.Duhem, L’évolution de la mécanique, A. Hermann, Paris, 1905. R. Bricard, Calcul Vectoriel, Armand colin, Paris, 1929. P.Costabel, Histoire du moment d’inertie, Revue d’histoire des sciences et leurs applications, tome3, n°4, pp. 315-336, 1950. F. Halbwachs, Angles d'Euler, rotation instantanée et opérateurs quantiques de rotation dans l'espace temps, Volume 16, Partie 3 de Annales de l'Institut Henri Poincaré, 1959. F. Balibar, Galilée, Newton lus par Einstein, PUF,1984. C. Chauviré, L’essayeur de Galilée, Belles Lettres, 1989. AGATI, LEROUGE et ROSSETTO, Liaisons, mécanismes et assemblages, DUNOD 1994. S. Pommier & Y. Berthand, Mécanique générales, Dunod, Paris, 2010. M.Hasnaoui et A. EL Maâchai, cours de mécanique 2, Première édition, FSSM, 2010. 3 3 Cycle Intégré Préparatoire Cycle Intégré Préparatoire aux Formations d’Ingénieurs aux Formations d’Ingénieurs École Nationale des Sciences Appliquées Marrakech Conformément au descriptif de la mécanique des systèmes de solides indéformables, le cours est articulé en sept chapitres : Calcul vectoriel-Torseurs, Cinématique du solide, Géométrie des masses, Cinétique du solide, Dynamique du solide, Liaisons-Forces de liaison, Mouvement d’un solide autour d’un point ou d’un axe fixes. Cours: 30 h; TD: 30h; TP: 10h; Évaluation: 6h; VH globale=76 Note Module: Contrôle 1: 40% ; Contrôle 2: 40% : et TD : 20% ; 4 4 Cycle Intégré Préparatoire Cycle Intégré Préparatoire aux Formations d’Ingénieurs aux Formations d’Ingénieurs École Nationale des Sciences Appliquées Marrakech Chap I: Calcul vectoriel-Torseurs Galilée : (1564-1642) La philosophie est écrite dans ce grand livre, l'univers, qui ne cesse pas d'être ouvert devant nos yeux. Mais ce livre ne peut se lire si on ne comprends pas le langage et on ne connaît pas les caractères avec lesquels il est écrit. Or, la langue est celle des mathématiques, et les caractères sont triangles, cercles et d'autres figures géométriques. Si on ne les connaît pas, c'est humainement impossible d'en comprendre même pas un seul mot. Sans eux, on ne peut qu'aller à la dérive dans un labyrinthe obscur et inextricable". G. Galilei, "Il Saggiatore", Rome,1623 5 5 Cycle Intégré Préparatoire Cycle Intégré Préparatoire aux Formations d’Ingénieurs aux Formations d’Ingénieurs École Nationale des Sciences Appliquées Marrakech Objectifs : Définir un torseur (torsur symétrique et anti- symétrique, invariants scalaires) ; Décomposer un torseur (couple et glisseur) ; Comprendre la notion de torseur équiprojectif ; Décrire les élements de réduction d’un torseur ; Déterminer l’axe central. 6 6 Cycle Intégré Préparatoire Cycle Intégré Préparatoire aux Formations d’Ingénieurs aux Formations d’Ingénieurs École Nationale des Sciences Appliquées Marrakech APPROCHE HISTORIQUE Pour les problèmes de physique, l'Allemand Hermann Grassman (1809-1877) fut l’un des premiers à utiliser la notation vectorielle. L'Américain Gibbs (1839-1903) et l'Anglais Heaviside (1850-1925), disciples de Hamilton (l'un des premiers à utiliser la notion de vecteur), donnent au calcul vectoriel sa forme quasi définitive. L’intérêt de la maitrise du calcul vectoriel est fondamental pour la bonne application des lois de la mécanique. 7 7 Cycle Intégré Préparatoire Cycle Intégré Préparatoire aux Formations d’Ingénieurs aux Formations d’Ingénieurs École Nationale des Sciences Appliquées Marrakech DÉFINITIONS ESPACE VECTORIEL ESPACE VECTORIEL EUCLIDIEN ESPACE AFFINE-ESPACE MÉTRIQUE VECTEURS-MOMENT D’UN VECTEUR On appelle vecteur lié, tout couple (A, ) formé de A appelé origine ou point d’application et d’un vecteur de E appelé grandeur vectorielle. Notation: (A, ) = (A) : on lit vecteur lié au point A. Exemples: - Force résultante appliquée à un point. - Champ électrique créé par une charge électrique en un point. 8 8 Cycle Intégré Préparatoire Cycle Intégré Préparatoire aux Formations d’Ingénieurs aux Formations d’Ingénieurs École Nationale des Sciences Appliquées Marrakech Opérations sur les vecteurs Produit scalaire: Le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs. À deux vecteurs, elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire, d'où son nom). Elle permet d'exploiter les notions de la géométrie euclidienne traditionnelle : longueurs, angles, orthogonalité. Produit vectoriel Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension 3. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel d'analyse vectorielle écrit par Josiah Willard Gibbs pour ses étudiants en physique. 9 9 Cycle Intégré Préparatoire Cycle Intégré Préparatoire aux Formations d’Ingénieurs aux Formations d’Ingénieurs École Nationale des Sciences Appliquées Marrakech Double produit vectoriel Soient , et  E. Produit mixte Considérons , et  E. u  v  w       w v u v w u w v u                u  v  w     z z z y y y x x x w v u w v u w v u det w , v , u w ∧ v u          10 10 Cycle Intégré Préparatoire Cycle Intégré Préparatoire aux Formations d’Ingénieurs aux Formations d’Ingénieurs École Nationale des Sciences Appliquées Marrakech TORSEURS Un torseur est un outil mathématique utilisé principalement en mécanique du solide indéformable, pour décrire les mouvements des solides et les actions mécaniques qu'ils subissent de la part d'un environnement extérieur. Un certain nombre de vecteurs utilisés en mécanique sont des moments : moment d'une force, moment cinétique, moment dynamique. Les champs vectoriels utilisés en mécanique (moment d'une force, moment cinétique, moment dynamique..) possèdent des propriétés communes, d’où l’intérêt d’être modélisés par un même objet mathématique appelé « torseur ». Application antisymétrique Champ antisymétrique 11 11 Cycle Intégré Préparatoire Cycle Intégré Préparatoire aux Formations d’Ingénieurs aux Formations d’Ingénieurs École Nationale des Sciences Appliquées Marrakech On appelle torseur [ ] un ensemble formé d’un champ de vecteurs antisymétrique et de son vecteur . Conséquence Soit O   et M quelconque, on a C/C : Un torseur est donc caractérisé par la donnée de et de son champ en un point.   M u  R         OM R O u M u    R  12 12 Cycle Intégré Préparatoire Cycle Intégré Préparatoire aux Formations d’Ingénieurs aux Formations d’Ingénieurs École Nationale des Sciences Appliquées Marrakech Opération sur les torseurs Addition des torseurs Multiplication d’un torseur par un scalaire Comoment ou produit scalaire de deux torseurs Égalité de deux torseurs 13 13 Cycle Intégré Préparatoire Cycle Intégré Préparatoire aux Formations d’Ingénieurs aux Formations d’Ingénieurs École Nationale des Sciences Appliquées Marrakech Axe central d’un torseur On appelle axe central () d’un torseur avec , le lieu des points P tel que :    R ), O ( u ) O (     0 R    0 R ) P ( u      Donc     tel que  Ainsi, si P  à l’axe central  (avec   ). R OP R R ) O ( u 2         2 2 R R ) O ( u R R OP         2 R ) O ( u R R OP         Classification des torseurs Glisseur Couple 14 14 Cycle Intégré Préparatoire Cycle Intégré Préparatoire aux Formations d’Ingénieurs aux Formations d’Ingénieurs École Nationale des Sciences Appliquées Marrakech Chap II: Cinématique du Solide René Descartes : (1596-1650) René Descartes a écrit les principes de la philosophie en 1644, dont l’objectif est de «donner des fondements rigoureux à la philosophie». La physique cartésienne est fondée sur l’identification de la matière avec la quantité géométrique : la pesanteur et le mouvement sont ramenés à une explication mécaniste. Sa description du monde est essentiellement cinématique, le mouvement se transmettant de proche en proche par contact. Dans les Principes de la Philosophie, Descartes distingue la cause première de tous les mouvements (Dieu, auteur de la nature), des causessecondesappelées les lois De la nature, qui régissent le mouvement des parties de la matière. 15 15 Cycle Intégré Préparatoire Cycle Intégré Préparatoire aux Formations d’Ingénieurs aux Formations d’Ingénieurs École Nationale des Sciences Appliquées Marrakech Objectifs : Décrire et analyser la nature du mouvement d’un système; Différencier entre les vitesse linéaire et angulaire ; Recenser le nombre de paramètres indépendants intervenant dans l’étude cinématique ; Savoir choisir une base dans laquelle expliciter simplement le mouvement ; Savoir mettre en œuvre les formules de changement de référentiel pour les vitesses et les accélérations; Déterminer le centre instantané uploads/Ingenierie_Lourd/ mecdessyssolindef-diapo 1 .pdf