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Méthode des éléments ﬁnis Hervé Oudin 28/09/2008 cel-00341772, version 1 - 26 N

Méthode des éléments ﬁnis Hervé Oudin 28/09/2008 cel-00341772, version 1 - 26 Nov 2008 cel-00341772, version 1 - 26 Nov 2008 Table des matières 1 Méthodes d’approximation en physique 1 1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Processus d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Méthodes d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Méthode des résidus pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Transformation de la forme intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.2 Discrétisation de la forme intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.3 Écriture matricielle des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Écriture du principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Discrétisation du Principe des Travaux Virtuels . . . . . . . . . . . . . 10 2 Méthode des éléments ﬁnis 13 2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Démarche éléments ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1 Discrétisation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.2 Approximation nodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.3 Quantités élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.4 Assemblage et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Utilisation d’un logiciel éléments ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.1 Déroulement d’une étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2 Techniques de calculs au niveau élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Organigramme d’un logiciel éléments ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Applications en mécanique 31 3.1 Structures treillis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.1 Élément barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.2 Assemblage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Structures portiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.1 Élément poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.2 Assemblage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Élasticité plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.1 Contraintes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3.2 Déformations planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3.3 Élément T3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3.4 Élément Q4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 cel-00341772, version 1 - 26 Nov 2008 A Illustrations académiques 47 A.1 Application de la méthode des résidus pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 A.2 Formulation variationnelle de l’équation de poisson . . . . . . . . . . . . . . . 48 A.3 Construction d’une approximation nodale linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . 48 A.4 Fonctions d’interpolation d’un élément triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . 49 A.5 Structure élastique à symétrie cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 A.6 Assemblage et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 A.7 Principe des Travaux Virtuels en traction-compression . . . . . . . . . . . . . . 52 A.8 Équivalence PTV et équation locale avec conditions aux limites . . . . . . . . . 53 A.9 Matrice raideur et vecteur force généralisée des éléments triangulaires . . . . . 53 A.10 Changement de base dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 A.11 Dimensionnement statique d’une colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 A.12 Étude statique d’un portique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Références 61 Index 62 cel-00341772, version 1 - 26 Nov 2008 1 Méthodes d’approximation en physique 1.1 Généralités 1.1.1 Processus d’analyse De façon générale, les diﬀérentes étapes d’analyse d’un problème physique s’organisent suivant le processus schématisé par la ﬁgure 1.1. Nous partons d’un problème physique. Le cadre précis problème physique hypothèses de modélisation évolution du modèle mathématique modèle mathématique discrétisation du problème évolution du modèle numérique modèle numérique estimation de la précision du modèle numérique – vériﬁcation des hypothèses de modélisation (analyse du modèle mathématique) – interprétation des résultats réponse nouveau modèle physique procédure numérique Figure 1.1 - Processus d’analyse utilisant un modèle numérique cel-00341772, version 1 - 26 Nov 2008 2 Méthodes d’approximation en physique de l’étude est déﬁni par les hypothèses simpliﬁcatrices qui permettent de déterminer le modèle mathématique approprié. La diﬃculté uploads/Ingenierie_Lourd/ mef.pdf