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lnexp Fiche Logarithme népérien et Exponentielle Logarithme népérien ? Dé ?nition La fonction f dé ?nie continue et dérivable sur ? et telle que F F F F f F F F F F F f ' x x s ? appelle la fonction logarithme népérien et se note ln ? On peut aussi dé ?ni

Fiche Logarithme népérien et Exponentielle Logarithme népérien ? Dé ?nition La fonction f dé ?nie continue et dérivable sur ? et telle que F F F F f F F F F F F f ' x x s ? appelle la fonction logarithme népérien et se note ln ? On peut aussi dé ?nir la fonction ln ? comme la primitive de la fonction x ? x sur ? qui s ? annule en ? Limites lim ln x ? x ? ? lim ln x x x ? ? limln x ?? ? x ? lim x ln x x ? ? Tableau de variation x ln ? x ln x - ? f x ln x ? ? e x ? Règles opératoires ln lnab lna lnb lne ln a lna ?? lnb b lnax x lna ln a lna ? Logarithme et dérivation Si u est une fonction dé ?nie strictement positive et dérivable sur un intervalle I de R alors la fonction ln u est dérivable sur I et ln u ' u' u CFonction exponentielle ? Dé ?nition On appelle fonction exponentielle la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien dé ?nie de R dans ? et notée exp x ou ex o Pour tout nombre réel x exp x ou ex o y expx équivaut à x lny o ln donc exp o lne donc exp e o Pour tout nombre réel x lnex x o Pour tout nombre réel x strictement positif elnx x La fonction exponentielle est dérivable sur R Pour tout nombre réel x ex ? ex ? Limites lim ex ? lim ex x ? ? x ? ?? ? lim ex ? lim xex x x ? ? x ? ?? ? ? Tableau de variation x - ? exp ? x exp x ? ? ? Règles opératoires ea b eaeb ax exlna a lnax x lna ea ??b ea eb ea b eab ? Exponentielle et dérivation Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I de R alors la fonction eu est dérivable sur I et eu ' u' eu ? Puissances Pour tous nombres strictement positifs a et a ? et tous nombres réels b et b ? ln ab blna ab ? ab' ab b' ab ab' ab ??b' ab b' abb' aba 'b aa ' b ab a 'b F EB F F F ECF ED F F F F a b a ' ? Croissances comparées Soit un nombre réel strictement positif lim x ? ? ln x x lim x ln x x ? x Soit un nombre réel quelconque lim x ? ? ex x ? lim x e ??x x ? ? CFiche Fonctions logarithme népérien et exponentielle Résolvez dans R les équations proposées ln x ln x ?? ln x ln x ln x ln x ?? ln x ?? ln x ln x ?? x ?? ln x ln x ?? ln ln ln x