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See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/248952925 Morphologie fractale du reseau hydrographique / The fractal morphology of river networks Article in Hydrological Sciences Journal/Journal des Sciences Hydrologiques · June 1993 DOI: 10.1080/02626669309492662 CITATIONS 14 READS 127 2 authors: Some of the authors of this publication are also working on these related projects: A framework for flood modeling and mapping using sparse data View project Cost-Performance analysis of flood modeling approaches View project Roger Moussa French National Institute for Agriculture, Food, and Environme… 176 PUBLICATIONS 3,991 CITATIONS SEE PROFILE Claude Bocquillon Saint Joseph University, Lebanon 49 PUBLICATIONS 869 CITATIONS SEE PROFILE All content following this page was uploaded by Roger Moussa on 18 January 2014. The user has requested enhancement of the downloaded file. Hydrological Sciences -Journal- des Sciences Bydrologiques,3H,3,6/1993 187 Morphologie fractale du réseau hydrographique R. MOUSSA Institut National de la Recherche Agronomique, UR Science du Sol, 2, Place Pierre Viola, 34060 Montpellier Cedex 1, France C. BOCQUILLON Laboratoire d'Hydrologie et Modélisation, Université de Montpellier II, Place Eugène Bataillon, 34095 Montpellier Cedex 5, France Résumé Le logiciel TraPhyC-BV a été élaboré pour extraire des données des modèles numériques de terrain, les composantes de l'hydro- logie: réseau de drainage, réseau hydrographique, sous-bassins versants et caractéristiques hydrogéomorphométriques intervenant dans le fonc- tionnement du bassin versant. A différentes échelles d'observation, le réseau hydrographique étudié présente une structure très variable. On a fait appel à la géométrie fractale pour identifier des relations "grandeur mesurée/jauge de mesure" afin de quantifier l'arborescence et détecter des propriétés invariantes d'échelle. The fractal morphology of river networks Abstract Digital elevation models are used to map automatically the drainage network and the stream channels and to divide networks of a drainage basin. This can be done with TraPhyC-BV software. Construc- tion of a code describing the network topology may form the basis for an efficient drainage basin information system. This methodology is designed to aid in the parameterization of a distributed components approach to basin simulation. The geometric pattern of the stream network of a drainage basin can be viewed as a "fractal" with a fractional dimension. This concept is also used to point out self-similarity and to quantify the tree-like organization of a hydrographie network. INTRODUCTION Les facteurs déterminants dans les mécanismes hydrologiques sont extrêmement variables dans leur répartition spatiale et temporelle ce qui rend la représen- tation mathématique de ces phénomènes très complexe. La recherche d'une schématisation de cette complexité est indispensable. La réflexion va porter sur la complexité via le réseau de drainage. L'étude quantitative des réseaux de drainage a connu ses débuts avec Horton (1945) et a continué lentement jusqu'à la fin des années 1960 (Smart, 1968; Strahler, 1964). Il est évident que la forme du réseau hydrographique varie avec la taille de la maille du modèle numérique de terrain (Mesa & Gupta, 1987; Tarboton et al., 1988), et pour une taille donnée de la maille en fonction de l'échelle ou la jauge d'observation. Open for discussion until I December 1993 188 R. Moussa & C. Bocquillon La géométrie fractale (Mandelbrot, 1982) est utilisée pour quantifier la structure arborescente du réseau hydrographique en détectant des propriétés invariantes d'échelle. Cette analyse passe par la définition de nouveaux descrip- teurs qui peuvent être avantageusement intégrés dans le cadre d'une modélisation spatialisée du système hydrologique. Cette méthodologie a été appliquée sur le bassin versant du Gardon d'Anduze (545 km2) situé au sud de la France. ANALYSE DES DONNEES GEOMORPHOLOGIQUES POUR L'HYDROLOGIE Les données géomorphologiques Un modèle numérique de terrain (MNT) fournit sur une grille régulière le relief d'une zone géographique. Le logiciel TraPhyC-BV (traitement physique et caractéristiques des bassins versants) a été spécialement élaboré pour extraire de ces données les composantes de l'hydrologie: détermination des éléments du réseau hydrographique, délimitation des sous-bassins versants et définition de toutes les caractéristiques hydrogéomorphométriques intervenant dans le fonctionnement hydrologique du bassin versant (Moussa, 1991). Le MNT du Gardon d'Anduze, fourni par l'Institut Géographique National (IGN), a été calculé à partir de la carte IGN au 1:25 000 avec un intervalle de courbes de niveau de 40 m. Ce MNT dont la taille des mailles élémentaires est de 250 m, couvre un carré de 30 x 30 km2 (voir Fig. 1). Le traitement de ce MNT par le logiciel TraPhyC-BV permet de déterminer le réseau de drainage (voir Fig. 2). A ce niveau, une seule direction de drainage est définie en chaque maille et l'arborescence est continue de l'amont jusqu'à l'exutoire. En plus des caractéristiques géomorphométriques locales (altitude, pente, orientation, convexité, etc.), deux caractéristiques hydrométriques sont définies en chaque maille: la distance à l'exutoire et la surface du bassin versant amont. Fig. 1 MNT du Gardon d'Anduze. Morphologie fractale du réseau hydrographique 189 Fig. 2 Le réseau de drainage. Analyse de la forme du réseau de drainage Le transfert de l'eau en rivière s'effectue en suivant l'arborescence du réseau hydrographique. Connaissant l'hydrogramme à l'entrée de chaque tronçon de rivière, l'hydrologie propose de calculer l'hydrogramme de sortie. Plusieurs facteurs interviennent: la géomorphologie, le milieu souterrain, la pédologie, le couvert végétal, etc. L'écoulement en rivière dépend essentiellement de la structure du réseau hydrographique (longueur du réseau, surface du bassin versant en chaque point, pente, etc.). Ce réseau peut être vu de façon différente suivant la nature de l'analyste: géomorphologue, hydrologue ou géographe. Pour l'hydrologue, les grandeurs essentielles sont le débit en un point du réseau et le temps mis par ce débit pour atteindre l'exutoire. On choisit un débit ( 0 caractéristique quelconque dont le premier terme explicatif est la surface drainée (S), ce qui fournit une représentation paramétrique de Q{S). Comment décrire le réseau de drainage d'un bassin versant au travers de l'échelle surfacique? La forme du réseau hydrographique va dépendre de l'échelle d'obser- vation. Le réseau hydrographique est défini à partir du réseau de drainage tronqué de façon que tous les points "sources" aient un bassin versant amont d'une surface seuil S. S est l'échelle d'observation, on dira aussi seuil de troncature d'observation. Pour un seuil S donné, le réseau peut être carac- térisé par: 190 R. Moussa & C. Bocquillon la longueur totale du réseau hydrographique L = J{S, S0); le nombre de points extrémités N = g(S, S0); et la longueur du drain le plus long Q = h(S, S0). L, N et Q sont fonction de S et de la surface totale S0 du bassin versant. Figure 3 montre l'évolution de la forme du réseau hydrographique du bassin versant du Gardon d'Anduze pour S allant de 0.5 à 10 km2. ANALYSE MORPHOMETRIQUE FRACTALE La géométrie fractale Mandelbrot (1982) a introduit la notion de "fractal" pour quantifier l'évolution de la forme d'une grandeur avec l'échelle d'observation. L'objectif initial est la description de formes, en particulier de formes appartenant à la nature (ici l'arborescence du réseau hydrographique) et difficilement définissables dans la géométrie classique. L'irrégularité des formes peut être caractérisée par la dimension fractale qui sert à quantifier le degré de complexité et fragmentation d'un objet naturel. Un autre aspect concerne l'homothétie interne (auto- similarité): lorsque tout morceau d'une courbe est homothétique à l'ensemble, la courbe sera dite posséder une homothétie interne. Une forme garde alors le même aspect quelle que soit l'échelle d'observation. Les degrés d'irrégularité, correspondant à diverses échelles, sont en gros égaux (Barnsley, 1988). Le terme fractal évoque qu'une partie, observée à une échelle plus fine est à l'image du tout. Cette relation "grandeur/échelle d'observation" se traduit par une loi mathématique, plus ou moins complexe, dite "d'invariance d'échelle". La dimension fractale (valeur fractionnaire), par opposition à la géométrie euclidienne à dimensions entières, représente ces relations et semble mieux adapter pour décrire les aspects naturels et contribue à la définition de nouveaux descripteurs de forme indépendants de la jauge de mesure. Hypothèses d'homogénéité et de similitude L'analyse des fonctions / et g ne peut se faire que si elles conservent des propriétés identiques d'un point à l'autre d'un réseau. C'est la condition d'homogénéité. Le réseau est dit homogène si tous les sous-réseaux de même surface S, sont caractérisés par les mêmes relations L(S/S0) et N(S/S0), soit les mêmes fonctions / et g (Bocquillon, 1980). Pour un réseau très grand, les fonctions L et N peuvent être considérées comme continues. La condition d'homogénéité signifie que si, sur Fig. 4, (S/S0) = (5"/5), le nombre d'extrémités du réseau S0 tronqué à S est le même que celui de S tronqué à S' et les longueurs sont à l'échelle par rapport aux surfaces. Morphologie fractaie du réseau hydrographique 191 JH£»"ÏH f jCg^S^ r ' f ^ f f * * 5 ta | U « SMOI0MS| [ S *$\ \ ^É^r^ © N= 188 ; L=357km ; £2= 40km vr •-&• s a S | Los QfflMHS | ? \ / > g j â 3£>" ^is^- © . / > 2/ Anâuza N= 120 ; L = 271 km ; £2 = 59 fo« tf=22 ; L = 136km ; £2= 37 km S = 10 km2 N=10 ; L = 108km ; n-=36km S = S0km2 N=4 ; uploads/Ingenierie_Lourd/ morphologie-fractale-du-reseau-hydrographique-the.pdf