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1 CHAPITRE 1 : MATRICES DE BASE EN OPTIQUE GEOMETRIQUE I - VARIABLES ET MATRICE

1 CHAPITRE 1 : MATRICES DE BASE EN OPTIQUE GEOMETRIQUE I - VARIABLES ET MATRICE DE CHANGEMENT DE DIRECTION DU DIOPTRE I -1 Variables. Figure 1 Soit un rayon lumineux EF traversant un milieu transparent, partie d'un système optique, il forme un petit angle  avec l'axe (x’x) qui est l'axe optique du système. Soit  un plan perpendiculaire à (x’x). Le point d'intersection entre le plan  et le rayon lumineux est totalement déterminé par y et l’angle. y est la variable qui définie l'ordonnée de tout point du rayon EF etl'angle que fait EF avec (x’x) l'axe optique. Ces deux paramètres constituent les éléments d’une matrice colonne à deux lignes          y . I -2 Matrice de changement de direction du dioptre plan. Figure 2 Supposons que le plan de front  sépare les milieux d’indice n1 (milieu objet) et n2 (milieu image). Le rayon incident est donc défini par y1 et 1. La relation de Descartes permet d’écrire :        1 2 1 2 1 2 sin sin   n n y y (1.1) Si on utilise la matrice colonne          sin y pour définir un rayon lumineux on écrira la transformation linéaire :                          1 1 22 21 12 11 2 2 sin sin   y T T T T y (1.2)        1 22 1 21 2 1 12 1 11 2 sin sin sin    T y T T y T y (1.3) en comparant avec (1.1) on trouve les éléments de la matrice de changement de direction : 2 1 x’ x y T n1 n2 T y E  x’ x  F 2 T11 = 1 , T12 = 0, T21 = 0 et 2 1 22 n n T  Ce qui implique que :             2 1 0 0 1 n n T (1.4) qui est la matrice de changement de direction du dioptre plan et la relation de Descartes est obtenue par l’équation matricielle :                   1 1 2 2 sin sin   y T y (1.5) On remarque : det  2 1 n n T  (1.6) II - MATRICE D'ESPACE OU MATRICE D’INTERVALLE Figure 3 Le faisceau progresse mais ne change pas de direction car on est dans le même milieu. Pour le plan 1 les variables sont y1, sin1, sous forme de matrice colonne         1 1 sin y et pour 2 les variables sont y2 et sin2 ou         2 2 sin y . On appelle matrice d’intervalle la matrice   1 2 A A qui permet de trouver y2 et sin 2 connaissant y1 et sin 1 :                          1 1 22 21 12 11 2 2 sin sin   y A A A A y (1.7)        1 22 1 21 2 1 12 1 11 2 sin sin sin    A y A A y A y or 2 = 1 donc sin1 = sin2 donc A21 = 0 et A22 = 1, on considère que les angles sont petits sin 1 ≈ tan 1 = 2 1 1 2 A A y y  d’ou 1 2 1 1 2 tan A A y y   , donc la première équation du système montre que : A11 = 1 et A12 = 2 1A A . y1 A2 1 2 y2 A1 1 2 3 Donc la matrice d’espace s’écrit :            1 0 1 2 1 1 2 A A A A (1.8) Remarque : 1) det [ 1 2 A A ] = 1 2)            1 0 0 1 1 1 O A A 3)      1 2 1 2 1 2 ' ' ' ' A A A A A A A A A A    avec les matrices :                                                1 0 1 1 0 ' ' 1 1 0 ' 1 1 0 ' 1 1 0 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 A A A A A A A A A A A A A A on peut successivement trouver d'autres matrices si on considère d'autre plan :      1 3 2 2 1 2 1 2 ... 1 A A A A A A A A A A n  . 4)     I A A A A A A A A O     2 1 1 2 2 1 1 2 5) ce qui montre que    1 1 2 2 1   A A A A III - MATRICE DE CHANGEMENT DE DIRECTION ET MATRICE DE TRANSFERT Figure 4 Pour T on a un changement de direction :                                      1 1 2 1 1 1 2 2 0 0 1    y n n y T y (1.9) d’ou        Kepler de loi n n y y 1 2 1 2 1 2   Cherchons         2 2  y dans le plan 2 à partir de         1 1  y dans le plan de front 1, on écrit donc : 1 2 B1 B2 T A1 A2 n1 n2 4                                     1 1 22 21 12 11 1 1 1 2 2 2    y A A A A y y A A (1.10) Attention est différent de   1 2A A du cas qui n’implique pas de changement de direction.      1 2 1 2 .TA T T A A A  (1.11) En remplaçant les différentes matrices on trouve                             1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 2 1 2 1 2 T A n n TA A A Posons 1 1 p TA  et 2 2 p TA  (1.12) On remarquera que :   2 1 1 2 det n n A A  (1.13) Donc en général si on a 3 dioptres plans séparant 3 milieux d’indice n1, n’, n ,n2 de matrice de changement de direction [Ti] (i allant de 1 à 3) dans un système optique :          1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 1 2 A T T T T T T T T T A A A  .                                                            1 0 0 ' 0 0 1 1 0 1 " ' 0 0 1 1 0 1 " 0 0 1 1 0 1 1 1 1 2 1 3 2 2 2 3 1 2 T A n n T T n n T T n n A T A A (1.14) Et le déterminant vaut :      2 1 ' 1 2 1 uploads/Ingenierie_Lourd/ chap4-interferences-lumineuses-1-copie.pdf