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20 fdm2 ds1 Université Claude Bernard - Lyon Cursus préparatoire ?? Fondamentaux des mathématiques Semestre de printemps - février Devoir surveillé no Durée h ATTENTION LA RÉDACTION MATHÉMATIQUE ET LA PRÉSENTATION DE VOTRE COPIE SERONT PRISES EN COMPTE DA

Université Claude Bernard - Lyon Cursus préparatoire ?? Fondamentaux des mathématiques Semestre de printemps - février Devoir surveillé no Durée h ATTENTION LA RÉDACTION MATHÉMATIQUE ET LA PRÉSENTATION DE VOTRE COPIE SERONT PRISES EN COMPTE DANS LA NOTATION Exercice Échelonner en lignes la matrice A suivante puis déterminer son noyau Vous ferez appara? tre vos opérations et toutes les étapes de votre algorithme de calcul F EB F F A F EC F ECF ED F F F F F F F EB F F ?? ?? Exercice On note I la matrice identité de M R et on considère F ED F F M Les questions et de cet exercice sont indépendantes elles ont chacune pour but de calculer M n pour tout n Soit A M ?? I a Calculer A et A En déduire en la démontrant une expression simple de An pour tout n b En procédant par récurrence montrer qu ? il existe une suite un n telle que ??n M n I unA On véri ?era que un n satisfait une relation de récurrence de la forme un aun b c Calculer un en fonction de n Indication considérer vn un ?? d En déduire une expression du coe ?cient de M n situé en première ligne et première colonne Soit J M I a Calculer J puis Jn pour tout n b Calculer M n en fonction de n I et J pour tout n On rappelle la formule du binôme si A et B n sont deux matrices telles que AB BA alors A B n n An ??kBk k k c En déduire une expression du coe ?cient de M n situé en première ligne et première colonne Exercice On considère la fonction f x ?? ? ?? Arcsin x ?? x Justi ?er que l ? ensemble de dé ?nition de f est ?? Montrer que f est dérivable sur ?? ??x x pour une valeur de x à déterminer Calculer f x pour tout x ?? ?? ??x x En déduire une expression plus simple de f sur x et sur x Donner l ? allure du graphe de f Vous expliquerez en particulier comment vous aurez tracé la partie du graphe correspondant à ?? Exercice Soit f R ? R une fonction continue On suppose que f a des limites ?nies en ? et ?? ? notées respectivement et Représenter graphiquement une fonction f véri ?ant ces hypothèses a Montrer que pour tout il existe a b ?? R avec a b et tels que ??x ?? ?? ? a ?? b ? min ?? f x max b En déduire que f est bornée sur R On suppose qu ? il existe x ?? R tel que f x max a Montrer qu ? il existe a b ?? R avec a x b et tels que ??x ?? ?? ? a ?? b ? f x f x b Montrer que sup f x sup f