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Agregtp3scilab2016 2017 Université de Rouen ?? Agrégation externe de Mathématiques ?? Préparation à l ? épreuve de modélisation - TP - Simulation de variables aléatoires Objectifs Le problème de la simulation consiste à trouver des méthodes qui permettent

Université de Rouen ?? Agrégation externe de Mathématiques ?? Préparation à l ? épreuve de modélisation - TP - Simulation de variables aléatoires Objectifs Le problème de la simulation consiste à trouver des méthodes qui permettent de produire ou générer des échantillons ?nis de variables ou vecteurs aléatoires de lois données On supposera dans la majeure partie de ce document que l ? on sait générer une suite i i d de variables aléatoires de loi uniforme U voir paragraphe suivant à l ? aide du générateur rand de Scilab On se propose de b? tir des algorithmes permettant à partir d ? une telle suite de simuler une variable aléatoire ou un vecteur aléatoire de loi donnée La présentation est non exhaustive les références principales sont BC chapitre Yca chapitre et RS chapitre paragraphe du chapitre On n ? utilisera bien sûr pas la commande grand pour ce T P Pour chaque exercice penser à véri ?er les fonctions implémentées c ? est-à-dire par exemple à illustrer graphiquement la qualité des échantillons simulés en représentant les lois empiriques associées voir le document complémentaire Représentation graphique d ? échantillons Obtention de variables de lois uniformes Lois uniformes sur - Générateurs pseudo-aléatoires Dans toute la suite de ce document on partira du principe selon lequel la fonction rand de Scilab permet de générer une suite i i d Un n de loi U Les postulats sont donc les suivants voir Yca Un appel à la fonction rand retourne une réalisation d ? une variable aléatoire de loi U Des appels successifs à la fonction rand retournent des variables aléatoires indépendantes En réalité une suite générée par un algorithme connu est rarement aléatoire connaissant la valeur initiale de l ? algorithme on peut en dérouler les commandes pour trouver la valeur retournée La fonction rand de Scilab de même que ses équivalents dans les autres logiciels est donc seulement un générateur pseudo-aléatoire c ? est-à-dire un algorithme déterministe qui fournit une liste de nombres censés reproduire le comportement d ? un échantillon U La production d ? une telle suite est généralement récursive à partir de valeurs initiales appelées graines seed en anglais On parle de méthode prédictible voir BC pour plus de détails Le générateur rand de Scilab est un générateur par congruence linéaire une première suite Xn n est générée selon la relation de récurrence Xn aXn b mod m n ?? N avec m ?? N a b ?? m ?? puis on en déduit la suite Un n de avec Un Xn m Dans Scilab a b et m La suite construite est donc périodique de période m À partir de la graine initiale qui est toujours par défaut rentrer la commande rand ? seed ? pour le voir la séquence générée est toujours la même d ? une session à une autre On peut initialiser la graine du générateur di ?éremment voir l ? aide de la fonction rand dans le but de produire d ? autres