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UNIVERSITÉ SULTAN MOULAY SLIMANE Faculté Polydisciplinaire Béni Mellal Notes de

UNIVERSITÉ SULTAN MOULAY SLIMANE Faculté Polydisciplinaire Béni Mellal Notes de Cours Électromagnétisme dans le vide Ondes électromagnétiques dans le vide Filières : SMP, SMC, SMA, SMI (S3) Élaboré par: Pr Elmostafa ATIFY Département de Physique FP Béni Mellal Ondes planes dans le vide Outline 1 Ondes planes dans le vide Généralités sur les ondes planes Solution de l'équation d'Alembert à une seule dimension Équation d'Alembert Exemple d'onde plane Solution de de l'équation D'Alembert Iterprétation des solutions Caractéristiques d'une OPP Relation entre le champ électrique, magnétique et le sens de propagation 2 Onde Plane Progressive Monochromatique OPPM Dé nition et Expression d'une OPPM Vitesse de phase 3 Aspect énergétique Vecteur de Poynting Densité d'énergie électromagnétique (E.M) 4 Les équations de Maxwell en notation complexe Notation complexe Les équations de Maxwell en notation complexe Vecteur de Poynting complexe 5 Polarisation d'une OPPM Etat de polarisation d'une OPPM E.ATIFY (F.P, Béni Mellal) Électromagnétisme dans le vide December 7, 2019 2 / 39 Ondes planes dans le vide Généralités sur les ondes planes Dé nition d'une onde y(x1,t1) y(x2,t2) x y x y x y sens de propagation corde au repos t=0 t=t1 t=t2 Lorsqu'on excite la corde en l'une de ces extremités, une déformation se propage dans la corde. La propagation se fait selon − → e x La déformation se fait suivant − → e y La déformation se fait dans une direction perpendiculaire au sens de propagation, on dit que l'onde est transversale E.ATIFY (F.P, Béni Mellal) Électromagnétisme dans le vide December 7, 2019 3 / 39 Ondes planes dans le vide Généralités sur les ondes planes Dé nition d'une onde De nition (Onde) Une onde est un phénomène qui varie dans le temps et dans l'espace et qui obeit à une équation de propagation. De nition (Onde transversale) Une onde est dite transversale si le phénomène qui se propage se fait dans une direction perpendiculaire au sens de propagation.(Exemple : déformation de la corde, OEM dans le vide) De nition (Onde longitudinale) Une onde est dite longitudinale si le phénomène qui se propage se fait dans le même sens que la direction de propagation.(Exemple: le son) E.ATIFY (F.P, Béni Mellal) Électromagnétisme dans le vide December 7, 2019 4 / 39 Ondes planes dans le vide Solution de l'équation d'Alembert à une seule dimension Rappels Rappels des équations de d'Alembert ∆− → E (M,t)−1 c2 ∂2− → E (M,t) ∂t2 = − → 0 (1) ∆− → B (M,t)−1 c2 ∂2− → B (M,t) ∂t2 = − → 0 (2) Commentaire La solution générale de l'équation de D'Alembert à 4 D (x,y,z,t) n'existe pas jusqu'au moment. On cherche des solutions particulières parmi les quelles gures les ondes planes. Une onde plane est un modèle mathématique particulier de l'équation de D'Alembert, c'est une solution réduite à une seule coordonnée cartésienne et le temps. De nition (Onde électromagnétique plane) Une onde électromagnétique est dite plane s'il existe un système de coordonnées cartésiennes pour lequel le champ électrique − → E et le champ magnétique − → B se réduisent à une seule coordonnées cartésiennes et le temps E.ATIFY (F.P, Béni Mellal) Électromagnétisme dans le vide December 7, 2019 5 / 39 Ondes planes dans le vide Solution de l'équation d'Alembert à une seule dimension Exemple d'onde plane On considère le champ électrique − → E (M,t) au point M à l'instant t dans la base cartésiennes (− → e x,− → e y,− → e z): − → E (M,t) = − → E 0 cos ¡ ωt −kcos(α)x−ksin(α)y ¢− → e z (3) k une constante positive, α = cte O X Y Z u v a ex ey ez eu ev On dé nit le plan (− → e u,− → e v) confondue avec le plan (Oxy) tel que α = á (− → e x,− → e u) La nouvel base en coordonnées cartésiennes est (− → e u,− → e v,− → e z) E.ATIFY (F.P, Béni Mellal) Électromagnétisme dans le vide December 7, 2019 6 / 39 Ondes planes dans le vide Solution de l'équation d'Alembert à une seule dimension Exemple d'onde plane Dans (− → e x,− → e y,− → e z), Le point M(x,y,z) et − → e u(cos(α),sin(α),0). − − → OM.− → e u = xcos(α)+ysin(α) (4) d'où : − → E (M,t) = E0 cos ¡ ωt −k ¡ cos(α)x+sin(α)y ¢¢− → e z (5) − → E (M,t) = E0 cos ³ ωt −k− − → OM.− → e u ´− → e z (6) (7) Si on note par (u,v,z) les coordonnées du point M dans (− → e u,− → e v,− → e z) alors : − − → OM.− → e u = u. (8) et : − → E (M,t) = E0 cos(ωt −ku)− → e z (9) dans le nouveau système de coordonnées cartésiennes (− → e u,− → e v,− → e z), − → E (M,t) ne dépend que d'une seule coordonnée cartésienne, "u" donc l'onde est plane. u = − − → OM.− → e u, − → e u par dé nition est la direction de propagation de l'onde plane. E.ATIFY (F.P, Béni Mellal) Électromagnétisme dans le vide December 7, 2019 7 / 39 Ondes planes dans le vide Solution de l'équation d'Alembert à une seule dimension Solution de l'équation D'Alembert pour une seule dim de l'espace Soit une onde plane représenter par la fonction scalaire f (u,t) et qui peut être l'une des composante du champ électrique ou magnétique. ∆f (u,t)−1 c2 ∂2f (u,t) ∂t2 = 0 (10) Sachant que : ∂2 ∂t∂u = ∂2 ∂u∂t (11) alors : ∆f (u,t)−1 c2 ∂2f (u,t) ∂t2 = µ ∂ ∂u −1 c ∂ ∂t ¶µ ∂ ∂u + 1 c ∂ ∂t ¶ f (u,t) (12) On pose v = t −u c et w = t + u c alors : v = t −u c (13) w = t + u c (14) alors (15) t = v +w 2 (16) u = c 2 (w −v) (17) E.ATIFY (F.P, Béni Mellal) Électromagnétisme dans le vide December 7, 2019 8 / 39 Ondes planes dans le vide Solution de l'équation d'Alembert à une seule dimension Solution de l'équation D'Alembert pour une seule dim de l'espace en suite : ∂ ∂u ¶ t = ∂ ∂v ∂v ∂u + ∂ ∂w ∂w ∂u (18) ∂ ∂u ¶ t = ∂ ∂v µ −1 c ¶ + ∂ ∂w µ 1 c ¶ (19) et : ∂ ∂t ¶ u = ∂ ∂v ∂v ∂t + ∂ ∂w ∂w ∂t (20) ∂ ∂t ¶ u = ∂ ∂v + ∂ ∂w (21) Donc : ∂ ∂u −1 c ∂ ∂t = −2 c ∂ ∂v (22) ∂ ∂u + 1 c ∂ ∂t = 2 c ∂ ∂w (23) E.ATIFY (F.P, Béni Mellal) Électromagnétisme dans le vide December 7, 2019 9 / 39 Ondes planes dans le vide Solution de l'équation d'Alembert à une seule dimension Solution de l'équation D'Alembert pour une seule dim de l'espace On en déduit : µ ∂ ∂u −1 c ∂ ∂t ¶µ ∂ ∂u + 1 c ∂ ∂t ¶ f (u,t) = µ −2 c ∂ ∂v ¶µ 2 c ∂ ∂w ¶ f (v,w) = 0 (24) µ ∂ ∂u −1 c ∂ ∂t ¶µ ∂ ∂u + 1 c ∂ ∂t ¶ f (u,t) = −4 c2 ∂ ∂v µ ∂f (v,w) ∂w ¶ = 0 (25) Donc : ∂ ∂v µ ∂f (v,w) ∂w ¶ = 0 (26) Soit aussi : ∂f (v,w) ∂w ¶ v = g(w) (27) On en déduit : f (v,w) = Z g(w)dw +F(v) = G(w)+F(v) (28) Soit en fonction de u et t: f (u,t) = F ³ t −u c ´ +G ³ t + u c ´ (29) E.ATIFY (F.P, Béni Mellal) Électromagnétisme dans le vide December 7, 2019 10 / 39 Ondes planes dans le vide Solution de l'équation d'Alembert à une seule dimension Solution de l'équation D'Alembert pour une seule dim de l'espace Solution en fonction de u et t f (u,t) = F ³ t −u c ´ +G ³ t + u c ´ (30) Commentaire La solution de l'équation d'Alembert à une seule dimension cartésienne est la superposition de fonctions dont les variables espace temps sont couplées entre eux en deux variables (t −u c ) et (t + u c ) E.ATIFY (F.P, Béni Mellal) Électromagnétisme dans le vide December 7, 2019 11 / 39 Ondes planes dans le vide Solution de l'équation d'Alembert à une seule dimension F(t-u c ) On cherche les valeurs de ti et ui pour les quelles F(ti −ui c ) reprend les mêmes valeurs. On suppose que à t1 la position de l'onde est u1 et en t2 la position de l'onde est en u2 avec t2 > t1. La fonction F reprend la même valeur : F ³ t2 −u2 c ´ = F ³ t1 −u1 c ´ uploads/Ingenierie_Lourd/ onde-emchp-4.pdf