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OPTIMISATION DES STRUCTURES , MECANIQUES Méthodes numériques et éléments finis

OPTIMISATION DES STRUCTURES , MECANIQUES Méthodes numériques et éléments finis DU NOD 1 "O 0 c ::J 0 v T"-f 0 N @ ~ ..c Ol ï:::: >- a. 0 u Photo de couverture : © Bjm / Macjej Noskowskj - jstockphoto.com d'enseignement supérieur, provoquont une baisse brutale des achots de livres et de revues, au point que la possibilité même pour Le pictogramme qui figure ci-contre mérite une explication. Son objet est d'alerter le lecteur sur la menace que représente pour l'avenir de l'écrit, particulièrement dans le domaine DANGER de l'édition technique et universi· les auteurs de créer des œvvres nouvelles et de les faire éditer cor· rectement est aujourd'hui menacée. Nous rappelons donc que toute reproduction, portielle ou totale, de la présente publication est interdite sans autorisation de l'auteur, de son éditeur ou du Centre français d'exploitation du taire, le développement massif du photocopillage. Le Code de la propriété intellec- ® tuelle du 1er juillet 1992 interdit LE Pt«JTOCOPUAGE en effet expressément la photoco· T U E LE LIVRE pie à usage collectif sans autori· sation des ayants droit. Or, cette pratique s'est généralisée dans les étoblissements droit de copie (CFC, 20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris). ©Dunod, Paris,2014 ISBN 978-2-10-070843-7 Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, 2° et 3° a), d'une part, que les «copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective» et, d'autre port, que les analyses et les courtes citations dons un but d'exemple et d'illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle faite sons le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants couse est illicite » (art. L. 122..4). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constitue- rait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du Code de Io propriété intellectuelle. Table des matières Avant-propos XI Chapitre 1 : Objectif et contraintes 1 1.1 Pourquoi l'optimisation ? 1 1.2 Optimisation et mécanique des structures 2 1.3 Structure de l'ouvrage 4 Chapitre 2 : De la conception à la conception optimale 5 2.1 Présentation 5 2.2 Concepts de base 5 2.3 Configurations possibles 11 2.4 Essai-erreur 14 2.5 Étude paramétrique 15 2.6 Plans d'expériences 18 2. 7 Surfaces de réponse 20 2.8 Optimisation 21 2.9 Questions préalables à la résolution 22 Chapitre 3 : Les différents problèmes d'optimisation des structures 3.1 Paramétrage et choix des fonctions 3.2 Les problèmes d'optimisation de structures Chapitre 4 : Les différentes méthodes d'optimisation des structures 4.1 Catégories de méthodes d'optimisation des structures 4.2 Les critères d'optimalité 4.3 Une méthode stochastique 4.4 Les méthodes de programmation mathématique 24 24 25 35 35 36 37 38 "O 0 c ::J 0 v T"-f 0 N @ ~ ..c Ol ï:::: >- a. 0 u Il Optimisation des structures mécaniques 4.5 Variables discrètes 44 4.6 Références 45 Chapitre 5 : Optimisation 1 D 46 5.1 Fonctions convexes et fonctions non convexes 46 5.2 Minimisation à une dimension : processus itératif 50 5.3 Méthodes à un point 51 5.4 Méthode à deux points 55 5.5 Méthodes avec intervalle de confiance 56 5.6 Exemple d'application 59 5.7 Références 61 Chapitre 6 : Optimisation multi-variables sans contrainte 62 6.1 Préambule 62 6.2 Exemple 63 6.3 Remise à jour des variables de conception 67 6.4 Calcul de la direction de recherche 68 6.5 Calcul du pas de progression 77 6.6 Minimisation d' une fonction quadratique à deux variables 81 6.7 Synthèse de structure : exemple 1 85 6.8 Synthèse de structure : exemple 2 89 6.9 Références 90 Chapitre 7 : Optimisation avec contraintes : notions de base et méthode duale 91 7 .1 Position du problème d'optimisation avec contraintes 91 7 .2 Contraintes et domaines convexes 92 7.3 Les conditions de Kuhn-Tucker 95 7.4 Étude de la fonction lagrangienne 102 7 .5 Notion de point de selle 103 7 .6 Méthode duale 107 7.7 Exemples 7 .8 Références 110 115 Table des matières Chapitre 8 : Optimisation avec contraintes : autres méthodes 116 8.1 Méthodes primales 116 8.2 Méthode du gradient projeté 116 8.3 Méthode de pénalité intérieure 123 8.4 Méthode de pénalité extérieure 125 8.5 Méthodes primales-duales 127 8.6 Méthode du simplexe 131 8. 7 Exemples 137 8.8 Références 142 Chapitre 9 : Méthodes d'approximations séquentielles convexes 143 9.1 Motivations et solution proposée 143 9.2 Approximations en optimisation de structure 151 9.3 Comparaison de quelques approximations 165 9.4 Méthodes de résolution 168 9.5 Relaxation 168 9.6 Problèmes multi-objectifs 171 9.7 Exemples 173 9.8 Références 180 Chapitre 10 : Calcul de sensibilité 181 "O 0 10.1 Utilité et difficultés 181 c ::J 0 10.2 Étude paramétrique 182 v T"-f 0 10.3 Dérivées par différences finies 183 N . <:::: :<; @ -o c 10.4 Dérivées semi-analytiques 184 ~ ;;;! ..c ~ Ol ~ ·- "' 10.5 Exemple 190 L.. V> >- ·;: a. g 0 g 10.6 Cas des contraintes de tension 192 u c 0 c c 1O.7 Cas de la compliance . g 193 V ;;;! -0 e 10.8 Cas des fréquences de vibration 193 o. ~ ::! ;;;! 10.9 Cas des charges de flambement 194 ~ -0 0 10.10 Cas des composites 195 c ;;;! 0 @ Ill Optimisation des structures mécaniques 10.11 Cas non linéaires 196 10.12 Références 196 Chapitre 11 : Algorithmes génétiques 197 11.1 Intérêt et principes de la méthode 197 11.2 Population et codage 198 11.3 Création de la population suivante 200 11.4 Remarques 205 11.5 Références 206 Chapitre 12 : Dimensionnement optimal et optimisation de forme 207 12.1 Dimensionnement optimal 207 12.2 Exemples de dimensionnement optimal 208 12.3 Optimisation de forme 210 12.4 Exemples d'optimisation de forme de treillis 216 12.5 Exemple d'optimisation, structure continue 223 12.6 Références 227 Chapitre 13 : Optimisation topologique 228 13.1 Position du problème 228 13.2 Formulations du problème 235 13.3 Algorithmes d'optimisation 237 "O 0 13.4 Analyse de sensibilité 238 c ::J 0 13.5 Implantation dans un code de calcul 239 v T"-f 0 13.6 Enchaînement des optimisations 240 N @ 13.7 Modélisation alternative 240 ~ ..c Ol 13.8 Exemples ï:::: 242 >- a. 0 13. 9 Références 255 u Chapitre 14 : Optimisation des structures en matériaux composites 256 14.1 Principe de conception des composites 256 14.2 Rappels de mécanique des composites 257 IV Table des matières 14.3 Caractéristiques d'une structure composite 268 14.4 Paramétrage des composites 269 14.5 Références 285 Chapitre 15 : Exemples d'optimisation des structures en matériaux composites 286 15.1 Laminé soumis à divers efforts 286 15.2 Problème multi-objectifs 288 15.3 Membrane non homogène 292 15.4 Structure caissonnée 297 15.5 Optimisation topologique et orthotropie 302 15.6 Optimisation de séquence d'empilement 304 15. 7 Optimisation topologique en formulation SFP 307 15.8 Comparaison de méthodes 311 15. 9 Références 314 Chapitre 16 : Quelques notions supplémentaires très utiles 315 16.1 Vitesse de convergence 315 16.2 Critères de convergence 316 16.3 Solution non admissible et relaxation 318 16.4 Recherche de l'optimum global 319 16.5 La mise à échelle 320 "O 0 16.6 Grand nombre de contraintes 321 c ::J 0 16. 7 Critique de l'optimum 322 v T"-f 0 16.8 Robustesse et fiabilité de la solution 324 N .<:::: :<; @ -o 16. 9 Optimisation multidisciplinaire c 325 ~ ;;;! ..c ~ Ol ~ 16.10 Problèmes multi-objectifs 326 ·- "' L.. V> >- ·;: a. g 0 g 16.11 Problèmes d'autres natures 327 u c 0 c c 16.12 Références 329 . g V ;;;! -0 e o. ~ Index 331 ::! ;;;! ~ -0 0 c ;;;! 0 @ V "O 0 c ::i 0 ~ .-l 0 N @ .µ ..c Ol ï::: >- 0.. 0 u Avant-propos Le calcul de structures par éléments finis est une discipline née dans les an- nées 1960. S'y mêlent étroitement les mathématiques, la mécanique et l'analyse numérique, ce qui engendre sa grande complexité et des approches différentes en fonction des sensibilités. Les progrès réalisés en informatique, tant par la puissance de calcul que par une interactivité toujours plus grande associée à des interfaces homme/machine sans cesse améliorées, ont contribué à une large dif- fusion de la conception assistée par ordinateur (CAO) dans les bureaux d'études, puis, naturellement, à une utilisation sans cesse croissante des programmes de calcul par éléments finis par des personnels familiers de la CAO. Aujourd'hui, une nouvelle étape semble franchie dans les bureaux d'études avec l'emploi de plus en plus fréquent des outils d'optimisation, et en particulier del' optimisation topologique, qui paraît aux yeux de certains être la solution miracle. Un des auteurs de cet ouvrage a eu la chance de voir l'évolution du module OPTI de SAMCEF développé à Liège dans les années 1980, puis d'assister à la naissance et à l'éclosion de son successeur, le logiciel BOSS Quattro conçu par Vincent Braibant, dont il était voisin de bureau. Il a pu ainsi mesurer la technicité de ces méthodes, le niveau de connaissance nécessaire pour les utiliser correctement et faire en sorte de mener une véritable optimisation en mécanique des uploads/Ingenierie_Lourd/ optimisation-des-structures-mecaniques 1 .pdf