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Chapitre I Notions de base sur les plans d’expériences (DOE*) Chapitre I Notion

Chapitre I Notions de base sur les plans d’expériences (DOE*) Chapitre I Notions de base sur les plans d’expériences (DOE*) *DOE : Design of Experiments 1. Historique Les méthodes de planification et analyse d’expériences (ou les plans d’expériences) ont été introduites pour la première fois par le britannique Fisher (1925). Ensuite, l'américain Box (1961) les a développées en posant les bases actuelles de la méthodologie de la recherche expérimentale selon le principe : « Hypothèse « Hypothèse Stratégie Expérimentale Stratégie Expérimentale Expériences Expériences – Analyse » Analyse » Mais ce sont certainement les travaux de l’ingénieur japonais Taguchi (1961) qui ont permis une vaste diffusion des plans d’expériences, notamment dans le milieu industriel. 1. Historique Les méthodes de planification et analyse d’expériences (ou les plans d’expériences) ont été introduites pour la première fois par le britannique Fisher (1925). Ensuite, l'américain Box (1961) les a développées en posant les bases actuelles de la méthodologie de la recherche expérimentale selon le principe : « Hypothèse « Hypothèse Stratégie Expérimentale Stratégie Expérimentale Expériences Expériences – Analyse » Analyse » Mais ce sont certainement les travaux de l’ingénieur japonais Taguchi (1961) qui ont permis une vaste diffusion des plans d’expériences, notamment dans le milieu industriel. 2. Introduction Les plans d'expériences fournissent aux scientifiques une méthodologie rigoureuse en vue d'un objectif précis et ceci avec un minimum d'essais évitant tout tâtonnement qui conduit souvent à une pléthore (excès) de résultats inexploitables. 3. Intérêts des plans d'expériences Les plans d'expériences sont utilisés dans les études industrielles en recherche-développement. Ils interviennent dans de nombreux domaines industriels: chimie, pétrochimie, agroalimentaire, pharmacie, mécanique, automobile, métallurgie… 3. Intérêts des plans d'expériences Les plans d'expériences sont utilisés dans les études industrielles en recherche-développement. Ils interviennent dans de nombreux domaines industriels: chimie, pétrochimie, agroalimentaire, pharmacie, mécanique, automobile, métallurgie… Leur utilisation vise aux buts suivants : • minimisation du nombre d'expériences permettant un gain en temps et en coût financier; • détermination des facteurs clés dans la conception d'un nouveau produit ou d'un nouveau procédé; • optimisation des réglages d'un procédé de fabrication ou d'un appareil de mesure; • prédiction par modélisation du comportement d'un procédé. Leur utilisation vise aux buts suivants : • minimisation du nombre d'expériences permettant un gain en temps et en coût financier; • détermination des facteurs clés dans la conception d'un nouveau produit ou d'un nouveau procédé; • optimisation des réglages d'un procédé de fabrication ou d'un appareil de mesure; • prédiction par modélisation du comportement d'un procédé. 4. Contexte des plans d’expériences Le contexte de l’utilisation des plans d’expériences recouvre des phénomènes de type « boîte noire » (Figure 1), que l’on cherche à éclaircir pour mieux comprendre le fonctionnement et en optimiser les performances. La démarche est expérimentale : l’information sur le phénomène est acquise à partir des essais. Cela impose une connaissance minimale du phénomène étudié avant d’entreprendre les essais. La technique des plans d’expériences va permettre de répondre à nos exigences. 4. Contexte des plans d’expériences Le contexte de l’utilisation des plans d’expériences recouvre des phénomènes de type « boîte noire » (Figure 1), que l’on cherche à éclaircir pour mieux comprendre le fonctionnement et en optimiser les performances. La démarche est expérimentale : l’information sur le phénomène est acquise à partir des essais. Cela impose une connaissance minimale du phénomène étudié avant d’entreprendre les essais. La technique des plans d’expériences va permettre de répondre à nos exigences. Boîte noire Figure I.1 : Système de boîte noire Parmi les facteurs on distinguera : • les facteurs contrôlables qui dépendent directement du choix du technicien (pression, température, matériau …); • les facteurs non contrôlables qui varient indépendamment du choix du technicien (conditions climatiques, environnement d'utilisation…); • les facteurs d'entrée dont on cherche à analyser une influence (matières premières, vitesse d'agitation, température, …). Parmi les facteurs on distinguera : • les facteurs contrôlables qui dépendent directement du choix du technicien (pression, température, matériau …); • les facteurs non contrôlables qui varient indépendamment du choix du technicien (conditions climatiques, environnement d'utilisation…); • les facteurs d'entrée dont on cherche à analyser une influence (matières premières, vitesse d'agitation, température, …). 5. Principe de la méthode des plans d’expériences De manière générale, la méthode des plans d’expériences cherchera à déterminer et à établir les relations existant entre 2 types de variables : - la réponse : grandeur physique étudiée (y); - les facteurs : grandeurs physiques modifiables par l’expérimentateur, sensées influer sur les variations de la réponse (xi). Pour cela, la solution proposée consiste dans tous les cas à établir un modèle, exprimant la réponse en fonction des facteurs. Pour bâtir ce modèle, il faut appréhender ces variations. Celles-ci sont déduites des résultats de séries de N expériences, c’est-à- dire de plusieurs configurations pour lesquelles les valeurs des facteurs sont différentes. Pour cela, la solution proposée consiste dans tous les cas à établir un modèle, exprimant la réponse en fonction des facteurs. Pour bâtir ce modèle, il faut appréhender ces variations. Celles-ci sont déduites des résultats de séries de N expériences, c’est-à- dire de plusieurs configurations pour lesquelles les valeurs des facteurs sont différentes. Sous une forme mathématique, on peut écrire que la grandeur d’intérêt (réponse), y, est une fonction de plusieurs variables xi (facteurs). On a :   1 2 3 , , ,................. i y f x x x x  L’étude du phénomène se ramène à déterminer la fonction f qui lie la réponse y aux différents facteurs x1, x2, …, xi. a. Réponse : la grandeur numérique qui est observée pour chaque expérience réalisée (y). Exemples : - Pour apprécier la qualité d’un jus de fruit, la réponse est donc l’acidité du jus de fruit produit, mesurée par la valeur du pH. L’objectif souhaité est alors la minimisation de la réponse. - Pour le cas d’une production agricole la réponse est, par exemple, le rendement à l’hectare et l’objectif est de maximiser cette réponse. 6. Vocabulaire de base des plans d'expériences a. Réponse : la grandeur numérique qui est observée pour chaque expérience réalisée (y). Exemples : - Pour apprécier la qualité d’un jus de fruit, la réponse est donc l’acidité du jus de fruit produit, mesurée par la valeur du pH. L’objectif souhaité est alors la minimisation de la réponse. - Pour le cas d’une production agricole la réponse est, par exemple, le rendement à l’hectare et l’objectif est de maximiser cette réponse. b. Facteurs: toute variable, obligatoirement contrôlable, susceptible d’inﬂuer sur la réponse observée. Les facteurs peuvent être quantitatifs lorsqu’ils sont naturellement exprimés à l’aide de valeurs numériques (pression, température, durée, etc.), ou bien qualitatifs dans le cas contraire (couleur, type de matériau, sexe, etc.) c. Niveaux : valeurs prises par un facteur dans les expériences. 6. Vocabulaire de base des plans d'expériences b. Facteurs: toute variable, obligatoirement contrôlable, susceptible d’inﬂuer sur la réponse observée. Les facteurs peuvent être quantitatifs lorsqu’ils sont naturellement exprimés à l’aide de valeurs numériques (pression, température, durée, etc.), ou bien qualitatifs dans le cas contraire (couleur, type de matériau, sexe, etc.) c. Niveaux : valeurs prises par un facteur dans les expériences. Lorsqu’un facteur varie on dit qu’il change de niveau. La connaissance de l’ensemble de tous les niveaux utilisés par chaque facteur est nécessaire pour la réalisation des expériences. Supposons que le facteur quantitatif ”température” peut prendre les valeurs suivantes : Ce facteur est alors à 4 niveaux. On qualiﬁe souvent de niveau bas la température minimale de 20°C et de niveau haut la température maximale de 50°C. Température (°C) 20 30 40 50 Exemple Ce facteur est alors à 4 niveaux. On qualiﬁe souvent de niveau bas la température minimale de 20°C et de niveau haut la température maximale de 50°C. Considérons cette fois le facteur qualitatif ”couleur” ayant les modalités suivantes : Ce facteur est à 3 niveaux. Dans ce cas on ne parlera pas de niveau bas et de niveau haut puisqu’il est impossible d’ordonner naturellement ces diverses modalités. Couleur bleu vert rouge d. Domaine du facteur L'ensemble de toutes les valeurs que peut prendre le facteur entre le niveau bas et le niveau haut, s'appelle le domaine de variation du facteur ou plus simplement le domaine du facteur (Figure 2). Lorsqu'on étudie l'influence d'un facteur, en général, on limite ses variations entre deux bornes. La borne inférieure est le niveau bas. La borne supérieure est le niveau haut. Figure I.2 : Le niveau bas du facteur est noté par (1) et le niveau haut par (+1) Remarque: S’il y a plusieurs facteurs, chacun d’eux à son domaine de variation. Exemple Le domaine de variation de la vitesse est constitué de toutes les vitesses comprises entre 80 et 120 km/h. e. Espace expérimental S'il y a un second facteur, il est représenté, lui aussi, par un axe gradué et orienté. On définit, comme pour le premier facteur, son niveau haut, son niveau bas et son domaine de variation. Ce second axe est disposé orthogonalement au premier. On obtient ainsi un repère cartésien qui définit un espace euclidien à deux dimensions. Cet espace est appelé uploads/Ingenierie_Lourd/ plans-d-x27-experiences-cours-1.pdf