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Historique Carrés latins Plans fractionnaires Propriétés Codes numériques : la

Historique Carrés latins Plans fractionnaires Propriétés Codes numériques : la méthode des plans d’expériences est la pire à l’exception de toutes les autres Jean-Marc AZAÏS Modélisation Aléatoire à Finalité Industrielle et Appliquée, LSP , IMT Toulouse La méthode des plans d’expériences est en principe une méthode en environnement incertain qui n’est pas faite pour les codes numériques. Pourtant c’est souvent la seule méthode possible Jean-Marc AZAÏS Codes numériques : la méthode des plans d’expériences Historique Carrés latins Plans fractionnaires Propriétés Outline 1 Historique 2 Carrés latins 3 Plans fractionnaires 4 Propriétés Jean-Marc AZAÏS Codes numériques : la méthode des plans d’expériences Historique Carrés latins Plans fractionnaires Propriétés 1 Historique 2 Carrés latins 3 Plans fractionnaires 4 Propriétés Jean-Marc AZAÏS Codes numériques : la méthode des plans d’expériences Historique Carrés latins Plans fractionnaires Propriétés Historique La méthode des plans d’expériences (Ronald Fisher 1920) : Comparer des variétés ou des traitements du type engrais : Le traitement . Champs découpé en parcelles. Le problème : contrôle de la fertilité du champ. Jusque là la méthode des parcelles "témoin" : Le rendement est estimé par différence à la parcelle recevant le témoin la plus proche. (Wiancko, Arny et Salmon 1921). la méthode de la marche du cavalier (Tedin 1931). On utilise des micro-parcelles, chaque variété est observée sur plusieurs micro-parcelles qui se déduisent l’une de l’autre par le déplacement du cavalier aux échecs. Jean-Marc AZAÏS Codes numériques : la méthode des plans d’expériences Historique Carrés latins Plans fractionnaires Propriétés Historique La méthode des plans d’expériences (Ronald Fisher 1920) : Comparer des variétés ou des traitements du type engrais : Le traitement . Champs découpé en parcelles. Le problème : contrôle de la fertilité du champ. Jusque là la méthode des parcelles "témoin" : Le rendement est estimé par différence à la parcelle recevant le témoin la plus proche. (Wiancko, Arny et Salmon 1921). la méthode de la marche du cavalier (Tedin 1931). On utilise des micro-parcelles, chaque variété est observée sur plusieurs micro-parcelles qui se déduisent l’une de l’autre par le déplacement du cavalier aux échecs. Jean-Marc AZAÏS Codes numériques : la méthode des plans d’expériences Historique Carrés latins Plans fractionnaires Propriétés Plan en marche de cavalier avec comparaison au témoin Jean-Marc AZAÏS Codes numériques : la méthode des plans d’expériences Historique Carrés latins Plans fractionnaires Propriétés La méthode de Fisher Les trois principes de Fisher qui aboutiront à la publication de son livre "The design of experiments" (1935). Randomisation : introduire du hasard dans l’expérience pour garantir l’équitabilité ; chaque traitement a autant de chances d’être favorisé ou défavorisé . Par ailleurs la randomisation valide l’analyse statistique. Réplication : Chaque traitement doit être examiné plusieurs fois pour apprécier la variabilité. Pas d’utilité en numérique : pas de variabilité. Contrôle local : le plan doit répartir au mieux les différentes occurrences d’un même traitement. Jean-Marc AZAÏS Codes numériques : la méthode des plans d’expériences Historique Carrés latins Plans fractionnaires Propriétés La méthode de Fisher Les trois principes de Fisher qui aboutiront à la publication de son livre "The design of experiments" (1935). Randomisation : introduire du hasard dans l’expérience pour garantir l’équitabilité ; chaque traitement a autant de chances d’être favorisé ou défavorisé . Par ailleurs la randomisation valide l’analyse statistique. Réplication : Chaque traitement doit être examiné plusieurs fois pour apprécier la variabilité. Pas d’utilité en numérique : pas de variabilité. Contrôle local : le plan doit répartir au mieux les différentes occurrences d’un même traitement. Jean-Marc AZAÏS Codes numériques : la méthode des plans d’expériences Historique Carrés latins Plans fractionnaires Propriétés La méthode de Fisher Les trois principes de Fisher qui aboutiront à la publication de son livre "The design of experiments" (1935). Randomisation : introduire du hasard dans l’expérience pour garantir l’équitabilité ; chaque traitement a autant de chances d’être favorisé ou défavorisé . Par ailleurs la randomisation valide l’analyse statistique. Réplication : Chaque traitement doit être examiné plusieurs fois pour apprécier la variabilité. Pas d’utilité en numérique : pas de variabilité. Contrôle local : le plan doit répartir au mieux les différentes occurrences d’un même traitement. Jean-Marc AZAÏS Codes numériques : la méthode des plans d’expériences Historique Carrés latins Plans fractionnaires Propriétés Plan en randomisation totale Jean-Marc AZAÏS Codes numériques : la méthode des plans d’expériences Historique Carrés latins Plans fractionnaires Propriétés 1 Historique 2 Carrés latins 3 Plans fractionnaires 4 Propriétés Jean-Marc AZAÏS Codes numériques : la méthode des plans d’expériences Historique Carrés latins Plans fractionnaires Propriétés Exemple : On veut comparer 4 peintures sur 4 maisons carrées ayant 4 façades de mêmes expositions N, S, E, O. Le facteur d’intérêt est le facteur peinture, les facteurs maison et orientation étant des facteurs à contrôler type bloc. Si on veut équilibrer les relations du premier facteur (peinture) avec chacun des deux autres (maison et orientation), on peut être amené (avant randomisation) à utiliser la répartition suivante : Orientation Maison Nord Sud Est Ouest 1 peinture 1 peinture 2 peinture 3 peinture 4 2 peinture 2 peinture 3 peinture 4 peinture 1 3 peinture 3 peinture 4 peinture 1 peinture 2 4 peinture 4 peinture 1 peinture 2 peinture 3 Jean-Marc AZAÏS Codes numériques : la méthode des plans d’expériences Historique Carrés latins Plans fractionnaires Propriétés On appelle carré latin, un plan comprenant n2 unités, réparties en n lignes et n colonnes sur lequel on place un traitement à n valeurs (n lettres latines) de façon que chaque lettre apparaisse une fois et une seule en ligne et en colonne. Le sudoku est un exemple de carré latin avec restrictions Jean-Marc AZAÏS Codes numériques : la méthode des plans d’expériences Historique Carrés latins Plans fractionnaires Propriétés Carrés gréco-latins La propriété de carré latin peut être enrichie en déﬁnissant les carrés greco-latins. Dans le même tableau, on ajoute dans chaque case une lettre parmi n lettres grecques. Chaque lettre grecque doit apparaître une fois et une seule avec une lettre latine. Voici un exemple 4x4. Jean-Marc AZAÏS Codes numériques : la méthode des plans d’expériences Historique Carrés latins Plans fractionnaires Propriétés De ces plans ont été déduits les hypercubes latins dont nous allons parler plus tard. Jean-Marc AZAÏS Codes numériques : la méthode des plans d’expériences Historique Carrés latins Plans fractionnaires Propriétés 1 Historique 2 Carrés latins 3 Plans fractionnaires 4 Propriétés Jean-Marc AZAÏS Codes numériques : la méthode des plans d’expériences Historique Carrés latins Plans fractionnaires Propriétés Plans fractionnaires La méthode des plans d’expériences a été adaptée à des expériences industrielles dans les années 1940-1950 par Box et ses co-auteurs. Une des parties qui va nous intéresser le plus est les plans fractionnaires. On considère, par exemple, l’émission de polluants d’un moteur diesel dont le réglage dépend d’un très grand nombre de paramètres que l’on appellera facteurs par exemple : le couple, le régime, les instants d’injection, les masses injectées, le taux de recyclage etc... Jean-Marc AZAÏS Codes numériques : la méthode des plans d’expériences Historique Carrés latins Plans fractionnaires Propriétés Chaque mesure est très coûteuse. Pas possible de faire toutes les mesures dans toutes les situations. On va supposer de plus, pour simpliﬁer, que chaque facteur ne prend que deux valeurs. On va appeler "traitement" une combinaison des p paramètres. Un calcul élémentaire montre qu’il y a 2p traitements . Jean-Marc AZAÏS Codes numériques : la méthode des plans d’expériences Historique Carrés latins Plans fractionnaires Propriétés Plan factoriel complet On appelle plan complet le plan obtenu en réalisant une fois et une seule chacun des traitements . En général ce plan est trop grand par rapport aux moyens ﬁnanciers et on va chercher un sous ensemble algébrique (il est construit avec des techniques d’algèbre) du plan complet qui ait de bonnes propriétés. Un tel plan aura pour taille la moitié, le quart, le huitième etc... du plan complet. D’où le nom de plan fractionnaire . Le plus difﬁcile est de déﬁnir ce que veut dire "qui ait de bonnes propriétés". Pour cela il faut introduire une notion relativement technique : les interactions multiples. Jean-Marc AZAÏS Codes numériques : la méthode des plans d’expériences Historique Carrés latins Plans fractionnaires Propriétés Interactions multiples E : espaces des réponses aux différents traitements. Exemple : p = 2 facteurs, 4 traitements qui correspondent aux 4 combinaisons possibles. Ensemble des réponses : 4 réponses rangées dans un tableau 2x2. E est l’ensemble des x y z t Dans cet espace nous allons déﬁnir inductivement • L ’espace des fonctions constantes : C : x x x x . Jean-Marc AZAÏS Codes numériques : la méthode des plans d’expériences Historique Carrés latins Plans fractionnaires Propriétés • L ’espace des fonctions qui ne dépendent que du premier facteur mais qui sont orthogonales à l’espace précédent. On part de l’espace des réponses de la forme : F1 : y y z z →orthogonalisation → y y −y −y Jean-Marc AZAÏS Codes numériques : la méthode des plans d’expériences Historique Carrés latins Plans fractionnaires Propriétés • L ’espace des fonctions qui ne dépendent que du second facteur mais qui sont orthogonales à l’espace des réponses constantes. F2 uploads/Ingenierie_Lourd/ plan-0202061-pdf.pdf