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Plans factoriels complets à deux niveaux. 1. Introduction 1.1 Généralités On es

Plans factoriels complets à deux niveaux. 1. Introduction 1.1 Généralités On est très souvent conduit à étudier la réponse Y d’un système à des sollicitations X1, X2, , Xn qui constituent un grand nombre de variables dites facteurs. La modélisation mathématique d’une telle situation consiste généralement à rechercher une fonction f telle que Y = f (X1, X2,…, Xn): une des méthodes classiques, consiste à mesurer Y pour m valeurs de chaque variable Xi (i: 1…n), tout en laissant fixe la valeur des (n - 1) autres variables; aussi est-on conduit à effectuer mn expériences. .Ainsi, par exemple, si nous avons 4 variables et si l'on décide de donner 5 valeurs expérimentales à chacune d'elles, nous sommes conduit à effectuer = 625 expériences. Ce nombre élevé dépasse les limites de faisabilité tant en temps qu'en coût. Il faut donc réduire le nombre d'expériences à effectuer sans pour autant perdre sur la qualité des résultats recherchés. L'utilisation d'un << plan d'expérience>> donne alors une stratégie dans le choix des méthodes d'expérimentation. Le succès des plans d'expériences dans la recherche et l'industrie est lié au besoin de compétitivité des entreprises : ils permettent une amélioration de la qualité et une réduction des coûts. La méthode des plans d'expériences a été mise au point au début du siècle, dans les années 1920, par Ronald A. Fisher, dans le cadre d'études agronomiques. Elle a pris un essor considérable avec le développement de l'informatique et la puissance de calcul qui l'accompagne. La grande nouveauté de la méthode des plans d'expériences est qu'elle propose une expérimentation factorielle, c'est-à-dire que tous les facteurs varient simultanément. Le traitement des résultats se fait à l'aide de la régression linéaire multiple et l'analyse de variance. 1.2 Notion de modèle et de régression linéaire multiple. 1.2.1 Position du problème. La régression linéaire multiple est une méthode d'analyse de données quantitatives. Elle a pour but de mettre en évidence la liaison pouvant exister entre une variable dite expliquée, que l'on notera Y et plusieurs autres variables dites explicatives que l'on notera X1, X2, ... , Xk. Les k variables Xi, i = 1, ... , k peuvent être soit aléatoires, soit contrôlées c'est-à-dire qu'elles sont connues sans erreur. Nous supposerons dans la suite que les variables Xi, i = 1, ... , k sont contrôlées. Nous nous intéressons aux modèles dit linéaires, c'est-à-dire aux modèles du type : Y = α0 +α1X1 + α2X2 + ... +αkXk dans lequel α0, α1, ... , αk sont des réels appelés coefficients du modèle (c'est, ici, un modèle sans interaction). Montrons que ce modèle est insuffisant pour décrire la réalité. En effet, dans la pratique, on effectue n expériences donc on dispose de n résultats de mesures. Nous utiliserons les notations suivantes : pour l'expérience i, X1 prend la valeur xi1, X2 prend la valeur xi2, ... , Xk prend la valeur xik. La valeur (yi)obs observée de Y obtenue lors de la réalisation de l'expérience i diffère de la valeur yi attendue d'une quantité aléatoire que nous noterons εi. L'existence du << facteur d'erreur>> εi est dû à des facteurs non contrôlés (dérive des appareils, adresse de l'expérimentateur, etc). Cela justifie le fait que nous adopterons désormais le modèle suivant : Y = α0 + α1X1 + α2X2 + ... + αkXk + ε dans lequel α0, α1, α2, ... , αk sont, en réalité, des variables aléatoires et ε une variable aléatoire prenant le nom de facteur d'erreur. 1.2.2 Estimation des coefficients du modèle. On appelle << ajustement >> du modèle toute solution du système des n équations : yi = a0 + a1xi1 + ... + akxik + ei (i = 1, 2, ... , n) dans laquelle : a) yi, xi1, ... , xik sont les valeurs observées lors de la réalisation des expériences. b) ei sont les résidus d'ordre i observés lors de la réalisation des expériences. Ils sont définis par : ei = yi - Σ ak xik c) a0, a1, ... , ak les estimateurs des variables aléatoires α0, α1, α2, ... , αk L'<< ajustement des moindre carrés >> est celui qui fournit les estimateurs a0, ... , ak conduisant au minimum de la somme des carrés des résidus , autrement dit : Σ ei² = valeur minimale Le calcul des estimateurs a0, a1, ... , ak , résulte de l'application de résultats de l'algèbre linéaire qui n'ont pas leur place ici. Nous donnerons, dans le cadre des plans d'expériences (voir paragraphe 3.2.2), une méthode simple de calcul de ces estimateurs. On obtient alors : Y observé = a0 + a1X1 + a2X2 + ... + akXk + e Dans la pratique, pour ne pas alourdir le discours et les écritures, on écrira Y à la place de Yobservé, on dira que a0, a1, ... , ak sont les coefficients du modèle et on omettra souvent le résidu e. 2. Plan 2k : principe et définitions 2.1. Principe Le tableau des données est du type suivant : X1 X2 Xn Réponse : Y x11 x12 x1n Y 1 xn1 xn2 xnn Y n dans lequel on a n variables et l'on a réalisé n expériences. Ce tableau permet de définir un modèle linéaire de régression multiple et l'analyse de variance permet de déterminer quels sont les facteurs dont l'influence est significative à un risque donné. 2.2. Définitions 2.2.1. Facteurs. Plan 2k On appelle facteurs, les paramètres supposés influencer la réponse qui caractérise le comportement du phénomène étudié. Il est important de pouvoir attribuer à chacun des facteurs deux niveaux, l'un sera qualifié de << niveau bas>> l'autre de << niveau haut>>. Ainsi par exemple, si dans l'étude d'un process la température doit intervenir, on peut décider de ne travailler qu'avec une température de 20oC puis de 60oC. On dira alors que le niveau bas du facteur température est 20oC et le niveau haut est 60oC ; le domaine expérimental de la température sera 20oC-60oC. Si le facteur est qualitatif, le niveau bas et le niveau haut correspondront à deux modalités du facteur, par exemple deux types de solvant. Dans la pratique, le niveau bas sera codé à l'aide du nombre -1 et le niveau haut à l'aide du nombre +1. Un plan pour lequel chacun des k facteurs ne possède que 2 niveaux est appelé plan 2k. 2.2.2 Matrice d'expériences. La matrice d'expériences est le tableau qui indique le nombre d'expériences à réaliser avec la façon de faire varier les facteurs et l'ordre dans lequel il faut réaliser les expériences. Ce tableau est donc composé de +1 et de -1. Soit, par exemple, la matrice d'expériences suivante : Exp X1 X2 1 -1 -1 2 +1 -1 3 -1 +1 4 +1 +1 On réalisera alors, dans la pratique 4 expériences. La colonne de gauche de la matrice d'expérience indique le numéro de l'expérience (ou de l'essai). La troisième ligne indique que lors de la réalisation du deuxième essai, le facteur X1 sera au niveau haut alors que le facteur X2 sera, lui, au niveau bas. Dans le cas où l'on ajoute à droite de la matrice d'expérience une colonne avec les réponses, on obtient la << matrice d'expériences et des réponses>>. 2.2.3 Effet global et effet moyen d'un facteur. A. Un seul facteur. Supposons qu'il n'y ait qu'un seul facteur X1 à deux niveaux. Notons y2 la réponse (résultat de l'expérience) lorsque X1 est au niveau +1 et y1 la réponse lorsque X1 est au niveau -1. La matrice d'expérience et des réponses est : Exp X1 Réponse : Y rep 1 -1 y1 2 +1 y2 On appelle effet global d'un facteur (sous-entendu : sur la réponse) la variation de la réponse quand le facteur passe du niveau -1 au niveau +1. On appelle effet moyen d'un facteur (sous-entendu : sur la réponse) la demi-variation de la réponse quand le facteur passe du niveau -1 au niveau +1. Ainsi, l'effet moyen est défini comme étant la moitié de l'effet global. Effet global de X1 : y2 - y1 ; effet moyen de X1 : a1 = y2 - y1 2 la réponse théorique au centre du domaine d'expérience est : a0 = y2 + y1 2 qui représente la moyenne des réponses Remarque : bien que les deux points expérimentaux soient reliés par un segment de droite, il n'y a pas pour le moment d'hypothèse de "linéarité" faite. B. Deux facteurs. Supposons que nous ayons maintenant 2 facteurs X1 et X2 avec chacun deux niveaux (plan 22). Une matrice d'expérience et des réponses est, par exemple : Exp X1 X2 Réponse : Y rep 1 -1 -1 y1 2 +1 -1 y2 3 -1 +1 y3 4 +1 +1 y4 Calcul des effets. L'effet moyen de X1 est toujours la demi-variation de la réponse lorsque X1 passe du niveau -1 au niveau +1. Or, pour chacun des niveaux de X1, il y a 2 expériences (une pour chacun des niveaux de X2 ). Nous devons alors envisager des réponses moyennes. Quand X1 est au niveau uploads/Ingenierie_Lourd/ plans-factoriels-complets-a-deux-niveaux.pdf