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Université de Savoie DEUG STPI Unité U32 Systèmes linéaires - Automatique - 1 -

Université de Savoie DEUG STPI Unité U32 Systèmes linéaires - Automatique - 1 - CHAPITRE 1 SYSTÈMES LINÉAIRES - SYSTÈMES ASSERVIS 1. Les systèmes - Définitions et exemples. Un système peut être défini comme un ensemble d'éléments exerçant collectivement une fonction déterminée. Un système communique avec l’extérieur par l'intermédiaire de grandeurs, fonctions du temps, appelées signaux. Dans la suite, on essaiera de garder les notations suivantes: x1(t)...xN(t) pour les signaux d'entrée. y1(t)...yM(t) pour les signaux de sortie. Les signaux de sortie d'un système sont aussi appelés réponse du système. Remarque: en général les signaux d'entrée et de sortie d'un système ne sont pas de même nature. De plus N peut être différent de M. Les systèmes à une entrée et une sortie (cas où 1 = N , 1 = M ) sont appelés systèmes univariables ou systèmes scalaires. Exemples: Chauffage d'une pièce. Commande d'un moteur. y1(t) . . . . . yM(t) x1(t) . . . . . xN(t) SYSTÈME TEXTERIEUR TRADIATEUR TPIECE Couple Courant Moteur Université de Savoie DEUG STPI Unité U32 Systèmes linéaires - Automatique - 2 - Un système est principalement connu par son action sur le monde extérieur. Lorsqu'on applique certains signaux d'entrée, le système se manifeste en émettant des signaux de sortie particuliers. Le système est donc parfaitement connu quand on peut prédire ces signaux de sortie, c'est-à-dire lorsqu'on connaît les relations entre les xi et les yj: y1(t) = f1(x1(t),...,xN(t)) ... yM(t) = fM(x1(t),...,xN(t)) Exemple: Soit le circuit électrique suivant : La charge du condensateur étant initialement nulle, on ferme l'interrupteur à t = 0. Pour t > 0, l'équilibre électrique du circuit se traduit par l'équation : R i C i dt v t t e . . ( ) + = ∫ 1 0 avec : v t C i dt s t ( ) . = ∫ 1 0 on a donc l'équation du système: ) t ( v ) t ( v dt dv RC e s s = + 2. Les systèmes linéaires. Un système est dit linéaire si la réponse de ce système à une combinaison linéaire de signaux d'entrée est égale à la combinaison linéaire des réponses: si on applique en entrée x(t) = u.x1(t) + v.x2(t) on obtiendra en sortie y(t) = u.y1(t) + v.y2(t) Cette propriété des systèmes linéaires est aussi appelée principe de superposition. Dans la plupart des cas on essaie de se ramener à l'étude d'un système linéaire. En effet, le principe de superposition simplifie beaucoup les problèmes: en particulier, on peut distinguer l'étude des conditions initiales d'une part et l'étude du comportement dynamique d'autre part. CIRCUIT ve(t) vs(t) i(t) ve(t) vs(t) R C x1 (t) y1 (t) Système x2 (t) y2 (t) Système Université de Savoie DEUG STPI Unité U32 Systèmes linéaires - Automatique - 3 - se décompose en : 3. Les systèmes invariants. Un système est dit invariant si la réponse du système à un signal x(t) différé d'un temps τ est la même que la réponse y(t) du système mais différée de τ. Un système invariant est aussi appelé système à paramètres constants localisés ou à constantes localisées. Cette propriété des systèmes invariants est aussi appelée principe de permanence. Exemples: Moteur. Si on néglige l'usure, le moteur n'évolue pas dans le temps: le système est invariant. Fusée. La masse de la fusée diminue au cours de son ascension : pour un même débit de propergols, l'accélération augmente avec le temps : le système est variant. τ entrée t x(t) entrée t x(t-τ) τ sortie t y(t) sortie t y(t-τ) débit de propergols accélération Fusée x0 y0 x(t) y(t) Moteur courant couple x0+x(t) y0+y(t) Université de Savoie DEUG STPI Unité U32 Systèmes linéaires - Automatique - 4 - Remarques: Dans la suite on s’intéressera surtout aux systèmes invariants. Un système peut être linéaire et/ou invariant : les deux propriétés sont indépendantes. Université de Savoie DEUG STPI Unité U32 Systèmes linéaires - Automatique - 5 - 4. Réponses particulières d'un système scalaire. On considère ici un système scalaire, c'est à dire à une entrée et une sortie. Pour connaître le comportement du système et le comparer à d'autres systèmes, on étudie les réponses à quelques signaux particuliers. Réponse impulsionnelle. On appelle réponse impulsionnelle, la réponse notée h(t), obtenue par l'application d'une impulsion de Dirac δ(t) (voir Annexe 1) à l'entrée du système, celui-ci étant initialement au repos. Réponse indicielle. On appelle réponse indicielle, la réponse notée w(t), obtenue par l'application d'un échelon unité u(t) à l'entrée du système, celui-ci étant initialement au repos. 5. Réponse à un signal quelconque : convolution temporelle. Remarque : l’annexe 1 donne les notions indispensables sur la distribution de Dirac notée δ(t) pour aborder la notion fondamentale de convolution temporelle. 5.1 Définition de la convolution temporelle On considère un système scalaire linéaire invariant de réponse impulsionnelle h(t). Pour un système scalaire, linéaire et invariant, initialement au repos, la réponse y(t) à un signal d'entrée quelconque x(t) est donnée par le produit de convolution entre x(t) et la réponse impulsionnelle du système : y t x v h t v dv x t h t ( ) ( ). ( ). ( ) ( ) = − = ∗ −∞ +∞ ∫ x(t) y(t) y(t)=h(t) t δ(t) t 1 y(t)=w(t) t u(t) t 0 1 Université de Savoie DEUG STPI Unité U32 Systèmes linéaires - Automatique - 6 - Cette expression est fondamentale. Elle permet, connaissant le système par sa réponse impulsionnelle h(t) et l’entrée x(t), de déterminer y(t). Elle peut donc remplacer totalement l’équation différentielle régissant le système. Cette expression se note de façon condensée y t x t h t ( ) ( ) ( ). = ∗ ∗ est l'opérateur de convolution ; y(t) est la convolution du signal d'entrée avec la réponse impulsionnelle du système. Remarques: • Le produit de convolution est commutatif: y t x t h t h t x t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ∗ = ∗ • L’impulsion de Dirac et la réponse impulsionnelle (si x et y ont même dimension) sont homogènes à l’inverse d’un temps. Ce sont des éléments mathématiques qui permettent de formaliser les comportements des systèmes mais qui n’ont pas de réalité physique. Si l’impulsion de Dirac est appliquée à l’instant zéro, la réponse impulsionnelle est forcément nulle pour t < ν car h t ( ) − = ν 0 , le système étant supposé causal (cas des systèmes physiquement réalisables). De plus, si le signal est lui-même causal (appliqué au temps t=0), alors ( ) x v v = < 0 0 si . Les bornes de l’intégrale de convolution se simplifient et le produit de convolution s’écrit : y t x v h t v dv t ( ) ( ). ( ). = − ∫ 0 Exemple: calcul de la réponse indicielle d’un circuit RC à partir de sa réponse impulsionnelle. La réponse impulsionnelle d’un circuit RC s’écrit (voir TD): ( ) h t t = −       1 τ τ .exp , avec τ=RC. On se propose d’utiliser la convolution pour déterminer la réponse indicielle w(t) du circuit RC à un échelon d’amplitude E à partir de sa réponse impulsionnelle h(t). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ − = − = = t t dv v t h E dv v u E v t h t u E t h t w 0 0 . . . . . . * soit: ( ) w t E t v dv E t v E t t t = − −       = − −            = − −             ∫ . .exp . . .exp . exp 1 1 0 0 τ τ τ τ τ τ 5.2 Quelques significations physiques de la convolution: appareil de mesure a. Signal vrai et signal observé Un appareil de mesure (oscilloscope, analyseur de spectre, ...) peut être décrit par l’opération de convolution y t x t h t ( ) ( ) ( ) = ∗ . x(t) est le signal vrai à mesurer, y(t) est le signal effectivement mesuré (ou observé) à l’aide de l’appareil, h(t) est la réponse impulsionnelle de l’appareil. Pour que le signal mesuré corresponde rigoureusement au signal vrai, il faudrait que la réponse impulsionnelle de l’appareil soit une impulsion de Dirac. Cela revient à dire que l’appareil devrait être parfait, c’est-à-dire posséder un temps de réponse infiniment court (ou une bande passante infinie). Dans ce cas, l’appareil est transparent puisqu’il n’intervient pas dans le signal observé qui correspond au signal réel. En réalité, un appareil, quel qu’il soit, possède toujours un temps de réponse non nul (et donc une bande passante non infinie - voir oscilloscopes utilisés en TP « Bande Passante=20MHz »). Le signal observé est donc toujours une uploads/Litterature/ automatique.pdf