Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Agreg 2008 maths gene corrige

Agrégation externe de mathématiques Rapport du jury pour la session Corrigé I - Sous-groupes ?nis de GLn Z Il s ? agit d ? un résultat classique montrons le par récurrence sur le degré n ?? N ? du polynôme P Pour n P est de la forme X a MP ??a et CMP X X a X a P Pour n supposons avoir établi le résultat au rang n ?? Un polynôme P à coef ?cients complexes unitaire de degré n est de la forme P X n an ?? X n ?? a X a XQ a o? Q X n ?? an ?? X n ?? a X a X a ?? X a ?? X Or CMP X det X In ?? MP a ?? X an ?? ?? X an ?? ?? X an ?? En développant ce déterminant par rapport à la première ligne il vient CMP X X det X In ?? ?? MQ a ?? n ?? n ?? X CMQ X a Or par hypothèse de récurrence CMQ X Q d ? o? CMP X XQ a P Par conséquent pour tout polynôme P à coef ?cients complexes unitaire de degré n le polynôme caractéristique de la matrice compagnon qui lui est associée est le polynôme P lui-même a Soit M ?? GL Z d ? ordre ?ni m ?? N ? Le complexe z étant racine de CM X est valeur propre de la matrice M donc racine de tout polynôme annulateur de M La matrice M étant d ? ordre m le polynôme X m ?? est annulateur pour M donc z est racine de ce polynôme b Le nombre de polynômes cyclotomiques de degré est égal au nombre de solutions de l ? équation k d ? inconnue k ?? N ? Soit p un nombre premier et r un entier strictement positif tel que pr On obtient donc pr ?? p ?? On en déduit que p ?? donc p est égal à Si p on a alors r la fonction r ? r ?? est strictement croissante sur N ? Donc une solution k n ? admet comme facteur premier que le nombre avec exposant inférieur ou égal à L ? équation n ? admet donc que deux solutions k ou k Il y a donc exactement deux polynômes cyclotomiques de degré les polynômes X X ?? et X X c Le nombre de polynômes cyclotomiques de degré est égal au nombre de solutions de l ? équation k d ? inconnue k ?? N ? Soit p un nombre premier et r un entier strictement positif tel que pr On obtient donc pr ?? p ?? Par conséquent p ?? Si p on a r ou r et si p alors r Donc le nombre k n ? admet dans sa décomposition en facteurs irréductibles que les nombres premiers avec ex- posant possible inférieur à et avec exposant possible inférieur à On obtient alors aisément