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Algebre lineaire reduction olivier fouquet

Université Paris XI Math Algèbre linéaire réduction Olivier Fouquet Un ingénieur vient écouter son meilleur ami un mathématicien donner une conférence sur les propriétés géométriques des espaces de dimension A plusieurs reprises l ? orateur justi ?e l ? une des ses assertions en mentionnant que ??on voit bien que ? ou alors ??qu ? il est visuellement évident que ? A la ?n de l ? exposé l ? ingénieur demande à son ami comment il réussit à visualiser un espace de dimension ??C ? est facile ? lui répond ce dernier ??je visualise en dimension n et ensuite je prends n ? CTable des matières Bases de l ? algèbre linéaire Espaces vectoriels Motivation et premiers exemples Dé ?nitions formelles Exemples Applications linéaires Dé ?nition et premières propriétés Matrices Systèmes d ? équations linéaires Interprétation linéaire des systèmes d ? équations Exemples de résolutions pratique de systèmes d ? équations linéaires Un problème mystérieux Réduction des endomorphismes Sous-espaces stables sous-espaces propres Dé ?nition Familles de vecteurs propres Lien avec les matrices triangulaires supérieures Polynômes d ? endomorphismes Révision sur les polynômes Polynômes d ? endomorphismes Réduction des endomorphismes Motivation et exemples Coeur et nilespace Espaces propres généralisés Polynôme caractéristique Réduction des endomorphismes diagonalisables Réduction des endomorphismes nilpotents Réduction des endomorphismes de C Théorème de réduction de Jordan Trace et déterminant d ? un endomorphisme Réduction des endomorphismes rationnels ou réels Déterminants Formes linéaires multilinéaires Formes linéaires Formes bilinéaires C Formes multilinéaires Déterminants Déterminant d ? une matrice Propriétés fondamentales du déterminant Développement en ligne et en colonne Lien avec l ? inversion et les systèmes linéaires Lien avec la réduction Espaces vectoriels euclidiens Dé ?nitions et premières propriétés Produit scalaire L ? inégalité de Cauchy-Schwarz Bases orthogonales orthonormalisation Orthogonal supplémentaire orthogonal Endomorphisme adjoint Dé ?nition Matrice adjointe matrice orthogonale Réduction des endomorphismes auto-adjoints Valeur propre Réduction des endomorphismes auto-adjoints Réduction de quelques endomorphismes importants Projecteur Dé ?nition et réduction Projection orthogonale Symétrie Dé ?nition et réduction Symétrie orthogonale Rotation Dé ?nition et réduction Endomorphisme d ? ordre ?ni Dé ?nition et réduction Permutation C Bases de l ? algèbre linéaire Espaces vectoriels Motivation et premiers exemples L ? algèbre linéaire est l ? étude abstraite des espaces vectoriels et des applications linéaires entre espaces vectoriels A ce titre il s ? agit d ? une généralisation et d ? une formalisation de certains aspects de la géométrie classique De manière informelle un espace vectoriel est un ensemble non-vide d ? éléments que l ? on appelle donc des vecteurs qui véri ?e les propriétés suivantes On peut additionner deux vecteurs de E Plus précisément si u et v sont deux vecteurs de l ? espace vectoriel E alors u v est un vecteur de l ? espace vectoriel E On peut multiplier un vecteur de E par un scalaire Plus précisément si u est un vecteur de E et ? est un élément d ? un corps K alors ?u est un vecteur de E Bien entendu beaucoup