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Les suites Exo7 Vidéo ■partie 1. Premières définitions Vidéo ■partie 2. Limite

Les suites Exo7 Vidéo ■partie 1. Premières définitions Vidéo ■partie 2. Limite Vidéo ■partie 3. Exemples remarquables Vidéo ■partie 4. Théorèmes de convergence Vidéo ■partie 5. Suites récurrentes Exercices ♦Suites Introduction L’étude des suites numériques a pour objet la compréhension de l’évolution de séquences de nombres (réels, complexes ...). Ceci permet de modéliser de nombreux phénomènes de la vie quo- tidienne. Supposons par exemple que l’on place une somme S à un taux annuel de 10%. Si Sn représente la somme que l’on obtiendra après n années, on a S0 = S S1 = S ×1,1 ... Sn = S ×(1,1)n . Au bout de n = 10 ans, on possédera donc S10 = Sn = S ×(1,1)10 ≈S ×2,59 : la somme de départ avec les intérêts cumulés. 1. Déﬁnitions 1.1. Déﬁnition d’une suite Déﬁnition 1 – Une suite est une application u : N →R. – Pour n ∈N, on note u(n) par un et on l’appelle n-ème terme ou terme général de la suite. La suite est notée u, ou plus souvent (un)n∈N ou simplement (un). Il arrive fréquemment que l’on considère des suites déﬁnies à partir d’un certain entier naturel n0 plus grand que 0, on note alors (un)nÊn0. Exemple 1 – (pn)nÊ0 est la suite de termes : 0, 1, p 2, p 3,. . . – ((−1)n)nÊ0 est la suite qui alterne +1, −1, +1, −1,. . . – La suite (Sn)nÊ0 de l’introduction déﬁnie par Sn = S ×(1,1)n, – (Fn)nÊ0 déﬁnie par F0 = 1, F1 = 1 et la relation Fn+2 = Fn+1 + Fn pour n ∈N (suite de Fibonacci). Les premiers termes sont 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . Chaque terme est la somme des deux précédents. – ³ 1 n2 ´ nÊ1. Les premiers termes sont 1, 1 4, 1 9, 1 16, . . . 1 2 1.2. Suite majorée, minorée, bornée Déﬁnition 2 Soit (un)n∈N une suite. – (un)n∈N est majorée si ∃M ∈R ∀n ∈N un É M. – (un)n∈N est minorée si ∃m ∈R ∀n ∈N un Ê m. – (un)n∈N est bornée si elle est majorée et minorée, ce qui revient à dire : ∃M ∈R ∀n ∈N |un| É M. 0 1 2 M + + + + + + + m + + + + + + + 1.3. Suite croissante, décroissante Déﬁnition 3 Soit (un)n∈N une suite. – (un)n∈N est croissante si ∀n ∈N un+1 Ê un. – (un)n∈N est strictement croissante si ∀n ∈N un+1 > un. – (un)n∈N est décroissante si ∀n ∈N un+1 É un. – (un)n∈N est strictement décroissante si ∀n ∈N un+1 < un. – (un)n∈N est monotone si elle est croissante ou décroissante. – (un)n∈N est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante. Voici un exemple d’une suite croissante (mais pas strictement croissante) : + + + + + + + + 3 Remarque – (un)n∈N est croissante si et seulement si ∀n ∈N un+1 −un Ê 0. – Si (un)n∈N est une suite à termes strictement positifs, elle est croissante si et seulement si ∀n ∈N un+1 un Ê 1. Exemple 2 – La suite (Sn)nÊ0 de l’introduction est strictement croissante car Sn+1/Sn = 1,1 > 1. – La suite (un)nÊ1 déﬁnie par un = (−1)n/n pour n Ê 1, n’est ni croissante ni décroissante. Elle est majorée par 1/2 (borne atteinte en n = 2), minorée par −1 (borne atteinte en n = 1). 1 2 3 4 5 6 1 1 2 −1 2 -1 + + + + + + – La suite ¡ 1 n ¢ nÊ1 est une suite strictement décroissante. Elle est majorée par 1 (borne atteinte pour n = 1), elle est minorée par 0 mais cette valeur n’est jamais atteinte. Mini-exercices 1. La suite ¡ n n+1 ¢ n∈N est-elle monotone ? Est-elle bornée ? 2. La suite ¡ nsin(n!) 1+n2 ¢ n∈N est-elle bornée ? 3. Réécrire les phrases suivantes en une phrase mathématique. Écrire ensuite la négation mathématique de chacune des phrases. (a) La suite (un)n∈N est majorée par 7. (b) La suite (un)n∈N est constante. (c) La suite (un)n∈N est strictement positive à partir d’un certain rang. (d) (un)n∈N n’est pas strictement croissante. 4. Est-il vrai qu’une suite croissante est minorée ? Majorée ? 5. Soit x > 0 un réel. Montrer que la suite ³ xn n! ´ n∈N est décroissante à partir d’un certain rang. 2. Limites 2.1. Introduction Pour un trajet au prix normal de 20 euros on achète une carte d’abonnement de train à 50 euros et on obtient chaque billet à 10 euros. La publicité afﬁrme « 50% de réduction ». Qu’en pensez-vous ? Pour modéliser la situation en termes de suites, on pose pour un entier n Ê 1 : un = 20n vn = 10n+50 4 un est le prix payé au bout de n achats au tarif plein, et vn celui au tarif réduit, y compris le prix de l’abonnement. La réduction est donc, en pourcentage : 1−vn un = un −vn un = 10n−50 20n = 0,5−5 2n − − − − − → n→+∞0,5 Il faut donc une inﬁnité de trajets pour arriver à 50% de réduction ! 50% + + + + + + + + 2.2. Limite ﬁnie, limite inﬁnie Soit (un)n∈N une suite. Déﬁnition 4 La suite (un)n∈N a pour limite ℓ∈R si : pour tout ε > 0, il existe un entier naturel N tel que si n Ê N alors |un −ℓ| É ε : ∀ε > 0 ∃N ∈N ∀n ∈N (n Ê N = ⇒|un −ℓ| É ε) On dit aussi que la suite (un)n∈N tend vers ℓ. Autrement dit : un est proche d’aussi près que l’on veut de ℓ, à partir d’un certain rang. ℓ ℓ+ε ℓ−ε + + + + + + + + + + + + + N n un Déﬁnition 5 1. La suite (un)n∈N tend vers +∞si : ∀A > 0 ∃N ∈N ∀n ∈N (n Ê N = ⇒un Ê A) 2. La suite (un)n∈N tend vers −∞si : ∀A > 0 ∃N ∈N ∀n ∈N (n Ê N = ⇒un É −A) Remarque 1. On note limn→+∞un = ℓou parfois un − − − − − → n→+∞ℓ, et de même pour une limite ±∞. 2. limn→+∞un = −∞⇐ ⇒limn→+∞−un = +∞. 3. On raccourcit souvent la phrase logique en : ∀ε > 0 ∃N ∈N (n Ê N = ⇒|un −ℓ| É ε). Noter que N dépend de ε et qu’on ne peut pas échanger l’ordre du « pour tout » et du « il 5 existe ». 4. L’inégalité |un −ℓ| É ε signiﬁe ℓ−ε É un É ℓ+ε. On aurait aussi pu déﬁnir la limite par la phrase : ∀ε > 0 ∃N ∈N (n Ê N = ⇒|un −ℓ| < ε), où l’on a remplacé la dernière inégalité large par une inégalité stricte. Déﬁnition 6 Une suite (un)n∈N est convergente si elle admet une limite ﬁnie. Elle est divergente sinon (c’est-à-dire soit la suite tend vers ±∞, soit elle n’admet pas de limite). On va pouvoir parler de la limite, si elle existe, car il y a unicité de la limite : Proposition 1 Si une suite est convergente, sa limite est unique. Démonstration On procède par l’absurde. Soit (un)n∈N une suite convergente ayant deux limites ℓ̸= ℓ′. Choisissons ε > 0 tel que ε < |ℓ−ℓ′| 2 . Comme limn→+∞un = ℓ, il existe N1 tel que n Ê N1 implique |un −ℓ| < ε. De même limn→+∞un = ℓ′, il existe N2 tel que n Ê N2 implique |un −ℓ′| < ε. Notons N = max(N1,N2), on a alors pour ce N : |uN −ℓ| < ε et |uN −ℓ′| < ε Donc |ℓ−ℓ′| = |ℓ−uN +uN −ℓ′| É |ℓ−uN|+|uN −ℓ′| d’après l’inégalité triangulaire. On en tire |ℓ−ℓ′| É ε + ε = 2ε < |ℓ−ℓ′|. On vient d’aboutir à l’inégalité |ℓ−ℓ′| < |ℓ−ℓ′| qui est impossible. Bilan : notre hypothèse de départ est fausse et donc ℓ= ℓ′. 2.3. Propriétés des limites Proposition 2 1. limn→+∞un = ℓ⇐ ⇒limn→+∞(un −ℓ) = 0 ⇐ ⇒limn→+∞|un −ℓ| = 0, 2. limn→+∞un = ℓ= ⇒limn→+∞|un| = |ℓ|. Démonstration Cela résulte directement de la déﬁnition. Proposition 3. Opérations sur les limites Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites convergentes. 1. Si limn→+∞un = ℓ, où ℓ∈R, alors pour λ ∈R on a limn→+∞λun = λℓ. 2. Si limn→+∞un = ℓet limn→+∞vn = ℓ′, où ℓ,ℓ′ ∈R, alors lim n→+∞(un + vn) = ℓ+ℓ′ lim n→+∞(un × vn) = ℓ×ℓ′ 6 3. Si limn→+∞un = ℓoù ℓ∈R∗= R\{0} alors un ̸= 0 pour n assez grand et limn→+∞1 un = 1 ℓ. Nous ferons la preuve dans la section suivante. Nous utilisons continuellement ces propriétés, le plus souvent sans nous en rendre compte. Exemple 3 Si un →ℓavec ℓ̸= ±1, alors un(1−3un)− 1 u2 n −1 − − − − − → n→+∞ℓ(1−3ℓ)− 1 ℓ2 −1. Proposition 4. uploads/Litterature/ ch-suites.pdf