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Chapitre 17 La dimension ﬁnie Objectifs – Déﬁnir les notions de familles libres

Chapitre 17 La dimension ﬁnie Objectifs – Déﬁnir les notions de familles libres, familles liées, familles génératrices et étudier leurs propriétés. – Déﬁnir la notion de dimension ﬁnie et établir le théorème fondamental de la dimension ﬁnie. – Déﬁnir les notions de bases, de coordonnées et les propriétés. – Faire le lien entre la dimension ﬁnie et les applications linéaires : notion de rang, théorème du rang... – Étudier la méthode de Gauss pour le calcul du rang d’une famille de vecteurs. Sommaire I) Espaces de dimension ﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1) Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2) Familles libres, familles liées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3) Familles libres et familles liées en dimension ﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II) Propriétés de la dimension ﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1) Bases, coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2) Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3) Applications linéaires et dimension ﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 III) Notion de rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1) Rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2) Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3) Méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 IV) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I) Espaces de dimension ﬁnie 1) Familles génératrices . . . DÉFINITION 17.1 Soit E un K-e.v, et soit A une famille de vecteurs de E, on dit que la famille A est une famille génératrice de E lorsque E = Vect[A]. Ce qui signiﬁe que tout vecteur de E est combinaison linéaire d’un nombre ﬁni de vecteurs de A. . . . THÉORÈME 17.1 (premières propriétés) . Soit A une famille génératrice de E : – Toute sur-famille de A est génératrice, i.e. si B est une famille de vecteurs de E telle que A ⊂B, alors B est génératrice. – Si f ∈L (E,F), alors B = (f (x))x∈A est une famille génératrice de Im(f ). – Soit f ∈L (E,F), alors f est surjective ssi f < A > est une famille génératrice de F. MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC http://pagesperso-orange.fr/Fradin.Patrick/ 1 Espaces de dimension ﬁnie Chapitre 17 : La dimension ﬁnie . . . DÉFINITION 17.2 (espace de dimension ﬁnie) Soit E un K-e.v, on dit que E est de dimension ﬁnie lorsque E possède une famille génératrice ﬁnie, c’est à dire lorsqu’il existe des vecteurs x1,...,xn ∈E tels que E = Vect[x1,...,xn]. Si ce n’est pas le cas, on dit que E est de dimension inﬁnie. . . . THÉORÈME 17.2 . Soit E un K-e.v de dimension ﬁnie : – Si f ∈L (E,F), alors Im(f ) est de dimension ﬁnie. En particulier lorsque f est surjective, F est de dimension ﬁnie. – Si F est de dimension ﬁnie, alors E ×F est de dimension ﬁnie également. 2) Familles libres, familles liées . . . DÉFINITION 17.3 Soit (x1,...,xn) une famille de vecteurs d’un K-e.v E, on dit que : – La famille est libre lorsque la seule combinaison linéaire de la famille qui donne le vecteur nul est celle pour laquelle tous les coefﬁcients sont nuls (on dit aussi que les vecteurs sont linéairement indépendants), c’est à dire : n ∑ k=1 αkxk = 0E = ⇒∀k ∈[ [1..n] ],αk = 0. – La famille est dite liée lorsqu’elle n’est pas libre (on dit aussi que les vecteurs sont linéairement dépendants), ce qui signiﬁe qu’il existe des scalaires α1,...,αn non tous nuls tels que : n ∑ k=1 αkxk = 0E. . . . THÉORÈME 17.3 (caractérisation des familles liées) . La famille (x1,...,xn) est liée ssi un des vecteurs de la famille est combinaison linéaire des autres. . Soient x, y ∈E, alors la famille (x, y) est liée ssi les deux vecteurs sont colinéaires. . . . THÉORÈME 17.4 (propriétés des familles libres et des familles liées) . Soit E un K-e.v – Si x ∈E, alors la famille (x) est libre ssi x ̸= 0E. – Toute famille contenant le vecteur nul est liée. – Toute partie d’une famille libre est une famille libre. – Toute famille contenant une famille liée est une famille liée. – L’image d’une famille liée par une application linéaire est une famille liée. – Soit f ∈L (E,F), alors f est injective ssi f transforme toute famille libre de E en une famille libre de F. – La famille (x1,...,xn) est libre ssi ∀x ∈Vect[x1,...,xn], x s’écrit de manière unique comme combi- naison linéaire des vecteurs x1,...,xn. – Soit (x1,...,xn) une famille libre, alors ∀x ∈E,x ∈Vect[x1,...,xn] ⇐ ⇒(x1,...,xn,x) est liée. MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC http://pagesperso-orange.fr/Fradin.Patrick/ 2 Propriétés de la dimension ﬁnie Chapitre 17 : La dimension ﬁnie 3) Familles libres et familles liées en dimension ﬁnie . . . THÉORÈME 17.5 (fondamental de la dimension ﬁnie) . Si E est de dimension ﬁnie et si (x1,...,xn) est une famille génératrice de E, alors toute famille de cardinal supérieur ou égal à n +1 est une famille liée. . . . THÉORÈME 17.6 . Si E est de dimension ﬁnie et si (x1,...,xn) est une famille libre, alors toute famille génératrice de E contient au moins n vecteurs. II) Propriétés de la dimension ﬁnie 1) Bases, coordonnées . . . DÉFINITION 17.4 Soit E un K-e.v et soit B = (e1,...,en) une famille de vecteurs de E, on dit que B est une base de E lorsque B est à la fois libre et génératrice de E. Si c’est le cas, alors ∀x ∈E,∃!(λ1,...,λn) ∈Kn, tel que x = n ∑ k=1 λkxk. Par déﬁnition (λ1,...,λn) sont les coordonnées de x dans la base B, et on pose CoordB(x) = (λ1,...,λn) ∈Kn (on fera attention à l’ordre sur les vecteurs de la base B, λi est la coor- donnée de x sur le vecteur ei). . . . THÉORÈME 17.7 (existence de bases) . Tout K-e.v non réduit au vecteur nul et de dimension ﬁnie, possède des bases. Plus précisément, toute famille génératrice contient une base. . . . THÉORÈME 17.8 (propriété fondamentale des bases en dimension ﬁnie) . Si E est un K-e.v de dimension ﬁnie, alors toutes les bases de E ont le même cardinal. Ce cardinal est appelé dimension de E et noté dim(E) ou dimK(E). Par convention {0E} est de dimension 0. . . . THÉORÈME 17.9 (application) . Si E est de dimension n ⩾1 et si B est une famille de vecteurs de E alors les assertions suivantes sont équivalentes : a) B uploads/Litterature/ chap-17.pdf