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Corrigé de la série N2 Intégrales dépendants d'un paramètre 2019/2020 1 ENSA-AL

Corrigé de la série N2 Intégrales dépendants d'un paramètre 2019/2020 1 ENSA-ALHOCEIMA ANALYSE 4 CP II. SEMESTRE 2 F.MORADI Exercice 1 : a. Calculons la limite de la suite : ݑ௡= ∫ݐܽ݊௡ݔ݀ݔ ഏ ర ଴ Posons pour ݊∈ℕ ݁ݐ ݔ∈ቂ0, గ ସቃ : ݂ ௡(ݔ) = ݐܽ݊௡ݔ. Il est clair que: i. la suite ൫݂ ௡(ݔ)൯௡ est une suite de fonctions continues sur ቂ0, గ ସቃ. Et comme : ∀ݔ∈ቂ0, గ ସቂ: |ݐܽ݊ݔ| < 1 ݁ݐ ݐܽ݊ቀ గ ସቁ= 1, alors: ii. la suite ൫݂ ௡(ݔ)൯௡converge simplement vers la fonction: ݂(ݔ) = ቐ 0 ݏ݅ ݔ∈ቂ0, గ ସቂ 1 ݏ݅ ݔ= గ ସ qui est une fonction continue par morceaux. iii. De plus, ቀ∀ݔ∈ቂ0, గ ସቃቁ(∀݊∈ℕ): |݂ ௡(ݔ)| ≤1 = ݃(ݔ) avec g est continue et intégrable sur ቂ0, గ ସቃ. Donc, d'après (i), (ii), (iii) et le théorème de convergence dominée, on déduit que: ݈݅݉௡→ାஶݑ௡= න݈݅݉௡→ାஶ൫݂ ௡(ݔ)൯݀ݔ గ ସ ଴ = න0݀ݔ గ ସ ଴ = 0 b. Calculons la limite de la suite : ݒ௡= ∫ ଵ ௫೙ା௘ೣ݀ݔ ାஶ ଴ Posons (∀ݔ∈[0, +∞[) (∀݊∈ℕ): ݂ ௡(ݔ) = ଵ ௫೙ା௘ೣ . On a: i. la suite ൫݂ ௡(ݔ)൯௡ est une suite de fonctions continues sur [0, +∞[. ii. la suite ൫݂ ௡(ݔ)൯௡converge simplement vers la fonction: ݂(ݔ) = ቐ ݁ି௫ ݏ݅ ݔ∈[0,1[ ଵ ଵା௘ ݏ݅ ݔ= 1 0 ݏ݅ ݔ> 1 qui est une fonction continue par morceaux sur [0, +∞[. Corrigé de la série N2 Intégrales dépendants d'un paramètre 2019/2020 2 iii. De plus, (∀ݔ∈[0, +∞[) (∀݊∈ℕ): |݂ ௡(ݔ)| ≤݁ି௫= ݃(ݔ) avec g est continue et intégrable sur [0, +∞[ . Donc, d'après (i), (ii), (iii) et le théorème de convergence dominée, on déduit que: ݈݅݉௡→ାஶݒ௡= න݁ି௫݀ݔ ଵ ଴ + න 0݀ݔ ାஶ ଵ = [−݁ି௫]଴ ଵ= 1 −1 ݁ c. Calculons la limite de la suite: ݓ௡= ∫ ௦௜௡೙௫ ௫మ݀ݔ ାஶ ଴ Posons ݃௡(ݔ) = ௦௜௡೙௫ ௫మ, ݌݋ݑݎ ݔ∈]0, +∞[ ݁ݐ ݊∈ℕ. On a: i. la suite ൫݃௡(ݔ)൯௡ est une suite de fonctions continues sur ]0, +∞[. ii. la suite ൫݃௡(ݔ)൯௡converge simplement vers la fonction: ݃(ݔ) = ൞ 0 ݏ݅ ݔ∈ቃ− గ ଶ+ 2݇ߨ, గ ଶ+ 2݇ߨቂ, ݐ݈݁ ݍݑ݁ ݇∈ℕ ଵ ቀഏ మାଶ௞గቁ మ ݏ݅ ݔ= గ ଶ+ 2݇ߨ, ݐ݈݁ ݍݑ݁ ݇∈ℕ qui est une fonction continue par morceaux sur ]0, +∞[ ∖ቄ− గ ଶ+ 2݇ߨ, ݇∈ℕቅ. iii. Pour la condition de domination, on écrit ݓ௡= ܽ௡+ ܾ௡ telles que: ܽ௡= ∫ ௦௜௡೙௫ ௫మ݀ݔ ఋ ଴ et ܾ௡= ∫ ௦௜௡೙௫ ௫మ݀ݔ ାஶ ఋ avec ߜ est une constante à déterminer. On sait que ݈݅݉௫→଴ ௦௜௡మ௫ ௫మ = 1, donc pour ߝ> 0, ∃0 < ߜ< ߨ 2 ݐ݈݁ ݍݑ݁: |ݔ| ≤ߜ⟹ቤݏ݅݊ଶݔ ݔଶ −1ቤ≤ߝ ⟹ݏ݅݊ଶݔ ݔଶ ≤1 + ߝ Par suite, (∀݊≥2)(∀ݔ∈]0, ߜ]): |݃௡(ݔ)| ≤(1 + ߝ)|ݏ݅݊௡ିଶݔ| ≤1 + ߝ= ℎଵ(ݔ) avec ℎଵ est continue et intégrable sur ]0, ߜ] . De plus, (∀݊∈ℕ)(∀ݔ∈[ߜ, +∞[): |݃௡(ݔ)| ≤ ଵ ௫మ= ℎଶ(ݔ) avec ℎଶ est continue et intégrable sur [ߜ, +∞[ ( puisque ∫ ଵ ௫మ݀ݔ ାஶ ఋ = ቂ− ଵ ௫ቃ ఋ ାஶ = ଵ ఋ) Donc, d'après (i), (ii), (iii) et le théorème de convergence dominée, on déduit que: Corrigé de la série N2 Intégrales dépendants d'un paramètre 2019/2020 3 ݈݅݉௡→ାஶܽ௡= ∫݃(ݔ)݀ݔ ఋ ଴ = 0 et ݈݅݉௡→ାஶܾ௡= ∫ ݃(ݔ)݀ݔ ାஶ ఋ = 0 Finalement, ݈݅݉௡→ାஶݓ௡= 0. d. Calculons la limite de ݖ௡= ∫ ௡௖௢௦௫ ଵା௡మ௫మ݀ݔ ାஶ ଴ En utilisant le changement de variables ݐ= ݊ݔ, on obtient: ݀ݐ= ݊݀ݔ et ቄݔ= 0 ݔ→+∞ ⟹ቄݐ= 0 ݐ→+∞ Par suite, ݖ௡= ∫ ௖௢௦ቀ೟ ೙ቁ ଵା௧మ݀ݐ ାஶ ଴ Posons (∀ݐ∈[0, +∞[) (∀݊∈ℕ∗): ݂ ௡(ݐ) = ௖௢௦ቀ೟ ೙ቁ ଵା௧మ . On a: i. la suite ൫݂ ௡(ݐ)൯௡ est une suite de fonctions continues sur [0, +∞[. ii. la suite ൫݂ ௡(ݐ)൯௡converge simplement vers la fonction: ݂(ݐ) = ଵ ଵା௧మ qui est une fonction continue sur [0, +∞[. iii. De plus, (∀ݐ∈[0, +∞[) (∀݊∈ℕ∗): |݂ ௡(ݐ)| ≤ ଵ ଵା௧మ= ݃(ݐ) avec g est continue et intégrable sur [0, +∞[ . Donc, d'après (i), (ii), (iii) et le théorème de convergence dominée, on déduit que: ݈݅݉௡→ାஶݖ௡= න 1 1 + ݐଶ݀ݐ ାஶ ଴ = [ܣݎܿݐܽ݊ݐ]଴ ାஶ= ߨ 2 e. Calculons la limite de ݐ௡= ݊∫ ௘ష೙ೣ ଵା௫݀ݔ ଵ ଴ Comme précédemment, en utilisant le changement de variables ݐ= ݊ݔ, on obtient: ݐ௡= න ݁ି௧ 1 + ݐ ݊ ݀ݐ ௡ ଴ = න ݁ି௧ 1 + ݐ ݊ . ࣲ[଴,௡](ݐ)݀ݐ ାஶ ଴ Avec ࣲ[଴,௡] est la fonction indicatrice de [0, ݊] définie par: ࣲ[଴,௡](ݐ) = ቄ1 ݏ݅ ݐ∈ [0, ݊] 0 ݏ݅݊݋݊ Posons (∀ݐ∈[0, +∞[) (∀݊∈ℕ∗): ݃௡(ݐ) = ௘ష೟ ଵା೟ ೙ . ࣲ[଴,௡](ݐ) . On a: i. la suite ൫݃௡(ݐ)൯௡ est une suite de fonctions continues sur [0, +∞[. Corrigé de la série N2 Intégrales dépendants d'un paramètre 2019/2020 4 ii. la suite ൫݃௡(ݐ)൯௡converge simplement vers la fonction: ݃(ݐ) = ݁ି௧ qui est une fonction continue sur [0, +∞[ (car ݈݅݉௡→ାஶࣲ[଴,௡](ݐ) = 1 . iii. De plus, (∀ݐ∈[0, +∞[) (∀݊∈ℕ∗): |݃௡(ݐ)| ≤݁ି௧= ℎ(ݐ) avec h est continue et intégrable sur [0, +∞[ . Donc, d'après (i), (ii), (iii) et le théorème de convergence dominée, on déduit que: ݈݅݉௡→ାஶݐ௡= න ݁ି௧݀ݐ ାஶ ଴ = [−݁ି௧]଴ ାஶ= 1 f. Pour ݔ௡= ∫ ݁ି௫ݏ݅݊௡ݔ݀ݔ ାஶ ଴ , la suite de fonctions ݂ ௡(ݔ) = ݁ି௫ݏ݅݊௡ݔ est majorée par ݃(ݔ) = ݁ି௫ qui est continue et intégrable sur [0, +∞[. De plus, la suite ൫݂ ௡(ݔ)൯௡ converge simplement vers la fonction: ݂(ݔ) = ቐ 0 ݏ݅ ݔ∈ቃ− గ ଶ+ 2݇ߨ, గ ଶ+ 2݇ߨቂ, ݐ݈݁ ݍݑ݁ ݇∈ℕ ݁ିቀഏ మାଶ௞గቁ ݏ݅ ݔ= గ ଶ+ 2݇ߨ, ݐ݈݁ ݍݑ݁ ݇∈ℕ qui est une fonction continue par morceaux sur ]0, +∞[ ∖ቄ− గ ଶ+ 2݇ߨ, ݇∈ℕቅ. Donc, d'après le théorème de convergence dominée, on déduit que: ݈݅݉௡→ାஶݔ௡= 0 Exercice 2 : a. Etudions la limite de l'intégrale: ܫ௡= ∫݂(ݔ௡)݀ݔ ଵ ଴ Posons ݃௡(ݔ) = ݂(ݔ௡) ܽݒ݁ܿ ݊∈ℕ ݁ݐ ݔ∈[0,1]. i. Comme f est continue sur ℝା et ݈݅݉௡→ାஶݔ௡= ቄ0 ݏ݅ ݔ∈[0,1[ 1 ݏ݅ ݔ= 1 alors, ݈݅݉௡→ାஶ݃௡(ݔ) = ൜݂(0) ݏ݅ ݔ∈[0,1[ ݂(1) ݏ݅ ݔ= 1 ii. De plus, comme f est bornée sur ℝା alors ∃ܯ> 0 ݐ݈݁ ݍݑ݁ ∀݊∈ℕ ݁ݐ ∀ݔ∈[0,1]: |݂(ݔ௡)| ≤ܯ= ℎ(ݔ) avec h est une fonction continue et intégrable sur [0,1]. D'où, grâce au théorème de convergence dominée, on aboutit à: ݈݅݉௡→ାஶܫ௡= න݂(0)݀ݔ ଵ ଴ = ݂(0) Corrigé de la série N2 Intégrales dépendants d'un paramètre 2019/2020 5 b. Etudions la limite de l'intégrale: ܬ௡= ∫ ݂݊(ݔ)݁ି௡௫݀ݔ ାஶ ଴ Comme pour les suites ݖ௡ ݁ݐ ݐ௡ de l'exercice précédent, on effectue le changement de variables ݐ= ݊ݔ et on obtient: ݀ݐ= ݊݀ݔ et ቄݔ= 0 ݔ→+∞ ⟹ቄݐ= 0 ݐ→+∞ Par suite, ܬ௡= ∫ ݂ቀ ௧ ௡ቁ݁ି௧݀ݐ ାஶ ଴ . Posons ݃௡(ݐ) = ݂ቀ ௧ ௡ቁ݁ି௧ ݌݋ݑݎ ݊∈ℕ∗ ݁ݐ ݐ∈[0, +∞[ . i. La suite ൫݃௡(ݐ)൯௡ est une suite de fonctions continues sur [0, +∞[. ii. La suite ൫݃௡(ݐ)൯௡ converge simplement vers ݃(ݐ) = ݂(0)݁ି௧car f est continue sur [0, +∞[. iii. De plus, ∀݊∈ℕ∗ ݁ݐ ∀ݐ∈[0, +∞[: |݃௡(ݐ)| ≤ܯ݁ି௧= ℎ(ݐ) avec h est une fonction continue et intégrable sur [0, +∞[. Finalement, d'après le théorème de convergence dominée, on déduit que: ݈݅݉௡→ାஶܬ௡= න ݂(0)݁ି௧݀ݔ ାஶ ଴ = [−݂(0)݁ି௧]଴ ାஶ= ݂(0) c. Etudions la limite de ܭ௡= ∫ ௡௙(௫) ଵା௡మ௫మ݀ݔ ାஶ ଴ . Par le même changement de variables, ݐ= ݊ݔ , ܭ௡ devient: ܭ௡= න ݂ቀݐ ݊ቁ 1 + ݐଶ݀ݐ ାஶ ଴ = න ݃௡(ݐ)݀ݐ ାஶ ଴ ܽݒ݁ܿ: ݃௡(ݐ) = ݂ቀݐ ݊ቁ 1 + ݐଶ i. La suite ൫݃௡(ݐ)൯௡ est une suite de fonctions continues sur [0, +∞[. ii. Comme f est continue sur [0, +∞[, alors la suite ൫݃௡(ݐ)൯௡ converge simplement vers ݃(ݐ) = ௙(଴) ଵା௧మ . iii. De plus, ∀݊∈ℕ∗ ݁ݐ ∀ݐ∈[0, +∞[: |݃௡(ݐ)| ≤ ெ ଵା௧మ= ℎ(ݐ) avec h est une fonction continue et intégrable sur [0, +∞[. D'où, d'après (i), (ii), (iii) et le théorème de convergence dominée, on déduit que: ݈݅݉௡→ାஶܭ௡= න ݃(ݐ)݀ݐ ାஶ ଴ = ݂(0). [ܣݎܿݐܽ݊ݐ]଴ ାஶ= ݂(0) ߨ 2 uploads/Litterature/ corrige-td2-ex1-2.pdf