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République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Sup

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université Abderrahmane MIRA (Béjaia) Faculté de Technologie Département de Génie Electrique Polycopié du Cours Théorie du Signal Cours de 2éme année (ST) Réalisé par : Dr. ABDELLI Radia Maitre de conférences à l’université de Béjaia 2017 Théorie du Signal P a g e | 1 R. ABDELLI Université de Bejaia 2017 Table des matières Introduction……………………………………………………………………5 I. Généralités sur les signaux I.1. Introduction…………………………………………………………………………..6  Définition d’un signal…………………………………………………………..6  Définition d’un système………………………………………………………..6  Exemple………………………………………………………………………...6 I.2. Classification des systèmes…………………………………………………………...7  Système continu ou discret……………………………………………………..7  Système causal………………………………………………………………….8  Système linéaire………………………………………………………………...8  Système à temps invariant……………………………………………………...9  Système EBSB (stable)…………………………………………………………9 I.3. Classification des signaux…………………………………………………………...10  Signaux pairs et impairs……………………………………………………....10  Signaux déterministes et aléatoires…………………………………………...11 I.4. Propriétés de l’impulsion de Dirac…………………………………………………..13 I.5. Energies et puissances……………………………………………………………….14  Signaux à énergie finie………………………………………………………..14  Signaux à puissance moyenne finie…………………………………...………14 I.6. Conclusion…………………………………………………………………………..15 I.7. Exercices……………………………………………………………………………15 II. Convolution et Déconvolution II.1. Introduction…………………………………………………………………………16  Définition de réponse indicielle……………………………………………….16  Définition de la réponse impulsionnelle………………………………………16 II.2. Produit de convolution (réponse d’un système à une entrée quelconque)………….16 II.3. Propriétés du produit de convolution……………………………………………….19 II.4. Explication graphique du produit de convolution…………………………………..19 II.5. Exemple de calcul du produit de convolution……………………………………...22 Théorie du Signal P a g e | 2 R. ABDELLI Université de Bejaia 2017 II.6. Déconvolution………………………………………………………………………22 II.6.1. Méthode des transformées de Fourier…………………………………….22 II.6.2. Identification directe……………………………………………………...23 II.7. Conclusion………………………………………………………………………….23 II.8. Exercices……………………………………………………………………………23 III. Transformée de Laplace III.1. Introduction………………………………………………………………………..24 III.2. Présentation de la Transformée de Laplace………………………………………..24 III.3. Propriétés de la Transformée de Laplace………………………………………….25 III.4. table des Transformées de Laplace………………………………………………..26 III.5. Exemple d’application sur les circuits électriques………………………………...27  Application……………………………………………………………………27  Solution………………………………………………………………………..28 III.6. Les systèmes et la Transformée de Laplace (Notion de la fonction de transfert)...28 III.7. Transformée de Laplace inverse…………………………………………………..28  Décomposition en fractions simples…………………………………………..29  Exemple 1……………………………………………………………………..29  Exemple 2……………………………………………………………………..30 III.8. Notion de région de convergence………………………………………………….31 III.9. Région de convergence-stabilité-causalité………………………………………...33 III.10. Conclusion………………………………………………………………………..33 III.11. Exercices………………………………………………………………………....33 IV. Analyse fréquentielle IV.1. Introduction………………………………………………………………………..34 IV.2. Rappels…………………………………………………………………………….34 IV.3. Représentation d’un signal………………………………………………………...35  Exemple 1………………………………………………………………..……35  Exemple 2……………………………………………………………………..36 IV.4. Développement d’une fonction périodique en série de Fourier…………………...37  Condition de convergence des séries de Fourier (Conditions de Dirichlet)…..38  Propriétés des coefficients de Fourier………………………………………...39 Théorie du Signal P a g e | 3 R. ABDELLI Université de Bejaia 2017 IV.5. Théorème de Parceval……………………………………………………………..39 IV.6. Représentation trigonométrique de la série de Fourier…………………………….39 IV.7. Spectre d’amplitude et de phase…………………………………………………...40 IV.8. Remarques importantes……………………………………………………………40 IV.9. Analyse fréquentielle des signaux apériodiques….................................................42 IV.10. Exemple de calcul de la TF………………………………………………………43 IV.11. Conditions d’existence de la TF………………………………………………….45 IV.12. Table des Transformées de Fourier………………………………………………45 IV.13. Propriétés de la Transformée de Fourier…………………………………………46 IV.14. Réponse fréquentielle d’un système LTI (filtrage linéaire)……………………...48  Exemple……………………………………………………………………….49  Solution………………………………………………………………………..49 IV.15. Conclusion………………………………………………………………………..50 IV.16. Exercices………………………………………………………………………….50 V. Energies et puissances des signaux V.1. Introduction…………………………………………………………………………51 V.2. Puissance temporelle d’un signal…………………………………………………...51 V.3. Puissance fréquentielle d’un signal (densité spectrale)……………………………..52 V.4. Autocorrélation et Intercorrélation des signaux…………………………………….53 V.4.1. Propriétés de la fonction d’autocorrélation……………………………….53 V.4.2. Remarque importante……………………………………………………..54 V.5. Conclusion………………………………………………………………………….54 V.6. Exercices……………………………………………………………………………55 VI. Echantillonnage et systèmes discrets VI.1. Introduction à l’échantillonnage…………………………………………………...55 VI.2. Système échantillonné……………………………………………………………..56 VI.3. Choix de la fréquence d’échantillonnage (Théorème de Shannon).................…...58 VI.4. Reconstitution d’un signal échantillonné………………………………………….59 VI.5. Transformée en Z………………………………………………………………….61 VI.6. Propriétés de la Transformée en Z…………………………………………………62 VI.7. Table des Transformées en Z……………………………………………………...63 Théorie du Signal P a g e | 4 R. ABDELLI Université de Bejaia 2017 VI.8. Résolution des équations récurrentes.................................................................….64 VI.9. Transmittance en présence d’un bloqueur d’ordre zéro…………………………...64 VI.10. Stabilité des systèmes échantillonnés…………………………………………….64 VI.11. Conclusion………………………………………………………………………..65 VI.12. Exercices………………………………………………………………………….65 Conclusion……………………………………………………………………..66 Références……………………………………………………………………..67 Théorie du Signal P a g e | 5 R. ABDELLI Université de Bejaia 2017 Introduction Le cours « Traitement du signal » est un cours de Mathématique de base qui fait partie de l’unité fondamentale UEF 222, il est destiné aux étudiants de la 2ème année Sciences et Technologie du département Génie Electrique (Faculté de Technologie). L’enseignement est dispensé en 2ème année au cours du deuxième semestre, assuré par Mme ABDELLI Radia, enseignant chercheur (Maître de Conférences) au sein de l’université de Bejaia. Diverses disciplines du Génie électrique nécessitent l’utilisation de notions mathématiques spécifiques. En physique, toute grandeur évolue au cours du temps de façon quelconque. Elle peut alors être représentée par une fonction de la variable réelle t qui représente le temps. Cependant dans bien des cas on préfère caractériser ces fonctions par le biais de transformations de variables. Ce cours est une introduction aux divers types de transformées que l’on rencontre, à savoir :  Les différentes notions de la théorie du signal (produit de convolution, impulsion de Dirac, fonctions usuelles,…)  La transformation de Laplace, principalement utilisée en automatique  La transformation de Fourier, utilisée en traitement du signal électronique  La transformée en Z qui permet de représenter et d’analyser les signaux numériques Théorie du Signal P a g e | 6 R. ABDELLI Université de Bejaia 2017 I. Généralités sur les signaux I.1. Introduction Dans cette première partie de ce cours, on présente la définition de certaines notions de base.  Définition d’un signal Un signal est une fonction représentant une variable qui peut être le temps (en général). Le signal ( ) x t peut être une tension, une température,…etc.  Définition d’un système Un système est un processus physique représenté par un modèle mathématique ou tout simplement un modèle théorique. Le système peut être un circuit électrique, équation chimique, moteur électrique,…etc. Figure I.1. Systèmes et signaux d’entrée et de sortie - Exemple Soit le circuit électrique suivant : Figure I.2. Système électrique La relation entre l’entrée et la sortie est donnée par le modèle du système. Signal d’entrée Système Signal de sortie Courant de sortie Théorie du Signal P a g e | 7 R. ABDELLI Université de Bejaia 2017 I.2. Classification des systèmes Un système peut être :  Continu ou discret.  Causal ou non causal.  Linéaire ou non linéaire.  A temps invariant ou à temps variant.  Stable ou instable.  A énergie ou à puissance moyenne finie. Système continu ou discret Un système est dit continu si son entrée et sa sortie sont continues et il est discret si son entrée et sa sortie sont discrètes. Entrée continue Sortie continue Figure I.3. Système continu Entrée discrète Sortie discrète Figure I.4. Système discret e(t) t Système continu s(t) t e(nT) nT Système discret s(nT) nT Système discret Théorie du Signal P a g e | 8 R. ABDELLI Université de Bejaia 2017 Système causal Un système est dit causal si la sortie ( ) y t à l’instant initial 0 t t  dépend uniquement de l’entrée aux instants 0 t t  . C'est-à-dire que la sortie à un instant donné ne peut pas dépendre de l’entrée ( ) x t dans le futur. Dans le cas contraire, le système est dit non causal. Exemple : ( ) ( 5) y t ax t   est un signal non causal. Remarque Les systèmes réalisables pratiquement sont causaux. Système linéaire Un système est dit linéaire si les deux principes suivants sont satisfaits :  Principe de superposition Figure I.5. Système linéaire Si nous avons :         1 1 1 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y t S e t y y t S e t e t y t S e t            I-1 Nous avons aussi :      1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) y t S e t S e t y t      I-2 Donc en résumé :       1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) S ae t be t aS e t bS e t    I-3 S S S 1 2 e e  1 2 y y  Théorie du Signal P a g e | 9 R. ABDELLI Université de Bejaia 2017 - Exemple Un système est décrit par l’équation suivante donnant la sortie ( ) y t en fonction de l’entrée ( ) x t : ( ) 3 ( ) 4 y t x t   I-4 On aura :     1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 3 ( ) 4 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 8 3 ( ) ( ) 4 y t x t y t x t y t y t x t x t x t x t               I-5 Donc : le système est non linéaire. Système à temps invariant Un système est à temps invariant lorsqu’une translation du signal d’entrée (retard ou avancement) se traduit par la même translation du signal de sortie.     S x t y t          I-6 Figure I.6. Système à temps invariant Système EBSB (stable) Un système est uploads/Litterature/ cours-abdelli-radia-theorie-du-signal.pdf