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Applications lineaires ? Gérard Lavau - http perso wanadoo fr lavau homepage htm Vous avez toute liberté pour télécharger imprimer photocopier ce cours et le di ?user gratuitement Toute di ?usion à titre onéreux ou utilisation commerciale est interdite sa

? Gérard Lavau - http perso wanadoo fr lavau homepage htm Vous avez toute liberté pour télécharger imprimer photocopier ce cours et le di ?user gratuitement Toute di ?usion à titre onéreux ou utilisation commerciale est interdite sans accord de l'auteur APPLICATIONS LINEAIRES PLAN I Morphismes Dé ?nition et exemples Propriétés Image directe d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire Image réciproque d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire II Cas de la dimension ?nie Isomorphisme Supplémentaire Le théorème du rang Structure de L E F Annexe une application du théorème du rang en S I I Morphismes ??Dé ?nition et exemples Les morphismes sont des applications entre deux structures analogues et qui respecte ces deux structures On a ainsi Les morphismes de groupes Soit G et H deux groupes et f une application de G dans H f est un morphisme de groupe si ?? x ?? G ?? y ?? G f x y f x f y ? Exemples L'application exp ? ? est un morphisme de groupe Cela traduit en e ?et la relation exp a b exp a exp b Les morphismes d'espaces vectoriels ou applications linéaires Soient E et F deux espaces vectoriels sur le même corps On appelle application linéaire ou morphisme d'espaces vectoriels une application f de E dans F telle que ? ?? x ?? E ?? y ?? E f x y f x f y ?? x ?? E ?? ? ?? f ?x ?x Exemples uf ? x ? ax o? a est un paramètre ?xé est une application linéaire ? u Plus généralement on peut considérer les applications de la forme n ? p - - Cx y a x a x a nxn F EB F F F EB F F F EB F F F EC F F F EC F F F EC F F x ? y a x a x a nxn F ED F F F ED F F F ED F F xn yp ap x ap x apnxn ce qu'on note également y a a a n x F EB F F F EB F F F EB F F F EC F F F EC F F F EC F F y a a a n x F ED F F F ED F F F ED F F yp ap ap apn xn Matrice dé ?nissant l'application f Cet exemple est caractéristique de toutes les applications linéaires en dimension ?nie ? u Soit I C a b ? f F F ? ? ?abf t dt I f Alors I est linéaire ? u C ? C y ? ay by' cy y est linéaire u u un n ?? convergente ? u ? n ?lim ? un u u un n ?? arithmétique ? u ? R u la raison de la suite u On peut véri ?er que u un n ?? arithmétique est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites En e ?et