c ⃝Christophe Bertault - MPSI Fonctions de deux variables Dans tout ce chapitre

c ⃝Christophe Bertault - MPSI Fonctions de deux variables Dans tout ce chapitre, R2 et R3 sont munis de leur structure euclidienne canonique. On utilisera librement les notations usuelles O, ⃗ ı, ⃗ et ⃗ k. Nous allons dans ce chapitre étudier succinctement les fonctions de R2 dans R. Nous chercherons à étendre à ces fonctions les notions de limite, continuité, dérivabilité, etc. Jusqu’ici nous avons réservé ces notions aux fonctions de R dans R, que nous savions bien représenter comme des « courbes », pour le dire vite. Les fonctions de R2 dans R seront quant à elles représentées par des « surfaces », comme l’illustrent les figures ci-dessous. x y z z = sin x + sin y x y z z = sin x (indépendance en y) x y z z = x2 + y2 4 x y z z = 1 x2 + 1 √y 1 Rudiments de topologie dans R2 Ce paragraphe est une introduction — très brève — à une branche fondamentale des mathématiques appelée topologie. La topologie est, pour le dire vite, la théorie grâce à laquelle il est possible de définir une notion de proximité entre deux points via la notion de voisinage d’un point. On ne peut pas faire moins si on veut pouvoir introduire les notions de limite, continuité. . . 1.1 Ouverts de R2 Définition (Boule ouverte, boule fermée) Soit A ∈R2. • Pour tout r > 0, on appelle boule ouverte de centre A et de rayon r l’ensemble BO(A, r) = n M ∈R2/ d(A, M) < r o . • Pour tout r ⩾0, on appelle boule fermée de centre A et de rayon r l’ensemble BF(A, r) = n M ∈R2/ d(A, M) ⩽r o . b A r BO(A, r) Le bord du disque est exclu. b A r BF(A, r) Le bord du disque est inclus. 1 c ⃝Christophe Bertault - MPSI    Explication Ce sont surtout les boules ouvertes qui vont nous intéresser, mais ce n’est pas du tout leur « rondeur » qui va nous être utile : ce qui compte, c’est que la boule BO(A, r) contient tous les points assez proches de A. Cette idée sera formalisée plus loin quand nous définirons la notion de voisinage. Exemple Pour tout A ∈R2, la boule fermée BF(A, 0) coïncide avec le singleton  A . Définition (Ouvert) Soit Ωune partie de R2. On dit que Ωest un ouvert (ou une partie ouverte) si : ∀A ∈Ω, ∃r > 0/ BO(A, r) ⊆Ω; cela revient à dire qu’il existe, autour de tout point A de Ω, une boule ouverte de centre A incluse dans Ω.    Explication Un ouvert de R2 est une partie de R2 dans laquelle tous les points ont de la place autour d’eux. On peut faire un tour complet autour de chaque point sans sortir de l’ouvert. On peut se représenter les ouverts en pensant que ce sont des taches qui ne contiennent pas leur frontière. Ω b b Autour de tout point, on peut tracer une boule dans l’ouvert. Théorème (Exemples fondamentaux d’ouverts) (i) Toute boule ouverte est un ouvert. (ii) Le complémentaire de toute boule fermée est un ouvert. En particulier, pour tout A ∈R2, R2 ∖  A est un ouvert. (iii) Tout produit de deux intervalles ouverts est un ouvert. Démonstration (i) Soient A ∈R2 et r > 0. Montrons que BO(A, r) est un ouvert. Soit donc B un point de BO(A, r). Nous devons montrer que BO(A, r) contient une boule ouverte de centre B. Puisque d(A, B) < r, posons ρ = r −d(A, B) 2 > 0 et montrons que BO(B, ρ) ⊆BO(A, r). Soit donc M un point de BO(B, ρ). Montrer que M ∈BO(A, r) revient à montrer que d(A, M) < r. Mais c’est facile : d(A, M) Inégalité triangulaire ⩽ d(A, B) + d(B, M) < d(A, B) + ρ = d(A, B) + r −d(A, B) 2 = r + d(A, B) 2 < r + r 2 = r. b A r b B ρ 2ρ (ii) Soient A ∈R2 et r ⩾0. Montrons que R2∖BF(A, r) est un ouvert. Soit donc B un point de R2 ∖BF(A, r). Nous devons montrer que R2 ∖BF(A, r) contient une boule ouverte de centre B. Puisque d(A, B) > r, posons ρ = d(A, B) −r 2 > 0 et montrons que BO(B, ρ) ⊆R2 ∖BF(A, r). Soit donc M un point de BO(B, ρ). Montrer que M ∈R2 ∖BF(A, r) revient à montrer que d(A, M) > r. Or d’après l’inégalité triangulaire : d(A, B) ⩽d(A, M) + d(M, B) < d(A, M) + ρ, donc : d(A, M) > d(A, B) −ρ = d(A, B) −d(A, B) −r 2 = r + d(A, B) 2 > r + r 2 = r. Pour le cas particulier de R2 ∖  A où A est un point de R2, nous avons déjà observé que BF(A, 0) =  A . b A r b B ρ 2ρ (iii) Soient I et J deux intervalles ouverts de R. Montrons que I × J est un ouvert. Soit donc A = (xA, yA) un point de I × J. Nous devons montrer que I × J contient une boule ouverte de centre A. I J I × J b A xA yA rI rJ Or xA ∈I et I est ouvert, donc ]xA −rI, xA + rI[ ⊆I pour un certain rI > 0. De même ]yA −rJ, yA + rJ[ ⊆J pour un certain rJ > 0. Posons alors r = min n rI, rJ o > 0 et montrons que BO(A, r) ⊆I × J. Soit donc M = (x, y) un point de BO(A, r). Il nous reste à montrer que M ∈I × J. Or (x −xA)2 + (y −yA)2 = d(A, M)2 < r2, donc (x −xA)2 < r2, et donc : |x −xA| < r < rI. De même : |y −yA| < r < rJ. Finalement :  x ∈]xA −rI, xA + rI[ ⊆I y ∈]yA −rJ, yA + rJ[ ⊆J . Et voilà : (x, y) = M ∈I × J comme voulu. ■ 2 c ⃝Christophe Bertault - MPSI 1.2 Voisinages d’un point dans R2 Définition (Voisinage d’un point) Soit A ∈R2. On appelle voisinage de A toute partie de R2 contenant une boule ouverte de centre A.    Explication Cette définition est à peu de choses près la même que celle que nous avons donnée dans R. Les intervalles ouverts y sont remplacés par leurs analogues dans R2 : les boules ouvertes. Bien évidemment, il n’y a pas de voisinage de l’infini dans R2, car il n’y tout simplement pas de point ∞dans R2. Exemple Dire qu’une partie de R2 est ouverte, c’est exactement dire qu’elle est un voisinage de chacun de ses points. 1.3 Limite d’une fonction définie sur une partie de R2 Définition (Limite en un point d’une fonction de R2 dans R) Soient A une partie de R2, f : A − →R une application, A ∈A et ℓ∈¯ R. On dit que f admet ℓpour limite en A si : pour tout voisinage Vℓde ℓ, il existe un voisinage VA de A tel que : ∀M ∈VA ∩A, f(M) ∈Vℓ. On peut montrer qu’en cas d’existence une telle limite est unique ; on la note alors lim M→A f(M) ou lim A f. Selon que ℓest fini ou infini, cette définition générale admet trois réécritures plus pratiques : • Cas où ℓ∈R : ∀ε > 0, ∃r > 0/ ∀M ∈A, d(A, M) < r = ⇒ f(M) −ℓ < ε ; • Cas où ℓ= ∞: ∀B > 0, ∃r > 0/ ∀M ∈A, d(A, M) < r = ⇒ f(M) > B ; • Cas où ℓ= −∞: ∀B < 0, ∃r > 0/ ∀M ∈A, d(A, M) < r = ⇒ f(M) < B. Cette nouvelle notion de limite jouit de la plupart des propriétés de la notion de limite d’une fonction de R dans R : opérations (somme, produit, inverse), passage à la limite et inégalités, théorème des gendarmes. . . En outre une fonction possédant une limite finie en un point est bornée au voisinage de ce point. Les démonstrations de ces résultats sont exactement celles que nous avons vues en cours d’année. Par exemple, soient A une partie de R2, f : A − →R et g : A − →R deux applications et A ∈A. Si lim A f = ℓ∈R et si lim A g = ℓ′ ∈R, alors lim A (f + g) = ℓ+ ℓ′. En effet Soit ε > 0. Il existe r > 0 tel que pour tout M ∈A : d(A, M) < r = ⇒ f(M) −ℓ < ε 2. De même, il existe r′ > 0 tel que pour tout M ∈A : d(A, M) < r′ = ⇒ g(M) −ℓ′ uploads/Litterature/ cours-fonctions-de-deux-variables.pdf

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littérature fonction classe alors théorème ouvert
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