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Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 1 Daniel ALIBERT Ensembles,

Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 1 Daniel ALIBERT Ensembles, applications. Relations d'équivalence. Lois de composition (groupes). Logique élémentaire. Objectifs : Démontrer que deux ensembles sont égaux, maîtriser les opérations élémentaires ensemblistes (union, intersection, complémentaire), utiliser les applications (définition, image d'une partie, image réciproque), caractériser et utiliser l'injectivité, la surjectivité, la bijectivité. Utiliser les relations d'équivalence, classes d'équivalence, compatibilité de structures avec une relation, passage au quotient. Utiliser la structure de groupe. Dans un énoncé mathématique, identifier les connecteurs 'ou' et 'et', les quantificateurs, savoir écrire une réciproque, la négation d'une proposition, une contraposée, savoir ce qu'est un contre-exemple, quel est son rôle. Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 2 Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 3 Organisation, mode d'emploi Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu, dans son format comme dans son contenu, en vue d'un usage pratique simple. Il s'agit d'un livre d'exercices corrigés, avec rappels de cours. Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet, il doit au contraire l'accompagner en fournissant des exemples illustratifs, et des exercices pour aider à l'assimilation du cours. Ce livre a été écrit pour des étudiants de première et seconde années des Licences de sciences, dans les parcours où les mathématiques tiennent une place importante. Il est le fruit de nombreuses années d'enseignement auprès de ces étudiants, et de l'observation des difficultés qu'ils rencontrent dans l'abord des mathématiques au niveau du premier cycle des universités : - difficulté à valoriser les nombreuses connaissances mathématiques dont ils disposent lorsqu'ils quittent le lycée, - difficulté pour comprendre un énoncé, une définition, dès lors qu'ils mettent en jeu des objets abstraits, alors que c'est la nature même des mathématiques de le faire, - difficulté de conception et de rédaction de raisonnements même simples, - manque de méthodes de base de résolution des problèmes. Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 4 L'ambition de cet ouvrage est de contribuer à la résolution de ces difficultés aux côtés des enseignants. Ce livre comporte quatre parties. La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats qui sont utilisés dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni démonstration, ni exemple. La seconde est intitulée "Pour Voir" : son rôle est de présenter des exemples de toutes les définitions, et de tous les résultats de la partie précédente, en ne faisant référence qu'aux connaissances qu'un étudiant abordant le chapitre considéré a nécessairement déjà rencontré (souvent des objets et résultats abordés avant le baccalauréat). La moitié environ de ces exemples sont développés complètement, pour éclairer la définition ou l'énoncé correspondant. L'autre moitié est formé d'énoncés intitulés "exemple à traiter" : il s'agit de questions permettant au lecteur de réfléchir de manière active à d'autres exemples très proches des précédents. Ils sont suivis immédiatement d'explications détaillées. La troisième partie est intitulée "Pour Comprendre et Utiliser" : des énoncés d'exercices y sont rassemblés, en référence à des objectifs. Ces énoncés comportent des renvois de trois sortes : (☺) pour obtenir des indications pour résoudre la question, () lorsqu'une méthode plus générale est décrite, () renvoie à une entrée du lexique. Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie 3 - 2. Au cours de la rédaction, on a souvent proposé au lecteur qui Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 5 souhaiterait approfondir, ou élargir, sa réflexion, des questions complémentaires (QC), également corrigées de façon détaillée. La quatrième partie, "Pour Chercher", rassemble les indications, les méthodes, et le lexique. Certains livres d'exercices comportent un grand nombre d'exercices assez voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l'étudiant en mathématiques. Ce n'est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent des aspects variés d'une question du niveau du L1 L2 de sciences pour l'éclairer de diverses manières et ainsi aider à sa compréhension. Le lecteur est invité, à propos de chacun d'entre eux, à s'interroger sur ce qu'il a de général (on l'y aide par quelques commentaires). Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 6 Table des matières 1 A Savoir ........................................................................ 9 1-1 Ensembles ..................................................... 9 1-2 Applications ................................................ 11 1-3 Relations d'équivalence ............................... 12 1-4 Lois de composition - structures ................. 14 1-5 Logique élémentaire .................................... 17 2 Pour Voir .................................................................... 25 2-1 Ensembles ................................................... 25 2-2 Applications ................................................ 31 2-3 Relations d'équivalence ............................... 41 2-4 Lois de composition - structures ................. 48 2-5 Logique élémentaire .................................... 58 3 Pour Comprendre et Utiliser ...................................... 61 3-1 Énoncés des exercices ................................. 61 3-2 Corrigés des exercices ................................. 81 3-3 Corrigés des questions complémentaires .. 127 4 Pour Chercher ........................................................... 141 4-1 Indications pour les exercices ................... 141 4-2 Méthodes ................................................... 147 4-3 Lexique ...................................................... 153 Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 7 Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 8 1 A Savoir Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales définitions et les principaux énoncés utilisés. Vous devrez vous référer à votre cours pour les démonstrations. Seule la partie 1-5 (logique élémentaire), qui n'est pas toujours exposée dans les cours, a été un peu développée, avec un objectif utilitaire cependant. Vous trouverez des exemples dans la partie 2 * Pour Voir. 1-1 Ensembles Définition Un ensemble est défini en extension quand on donne la liste des éléments : H = {1, 2, π, –12}. Définitions Un ensemble est défini en compréhension quand on donne une propriété caractérisant les éléments : par exemple A = {x ∈ Q | il existe un réel α tel que α2 = x} A partir de deux ensembles, E et F, on peut définir un autre ensemble : Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 9 Le produit cartésien de E et F, noté E × F est l'ensemble des couples (x,y) formés d'un élément x de E et d'un élément y de F. Attention, un couple est ordonné : le couple (x, y) n'est pas le couple (y, x) (sauf si x = y). On définit plus généralement le produit cartésien d'une famille d'ensembles : E × F × G × H, par exemple, est le produit des 4 ensembles E, F, G, H. Égalité de deux ensembles : soient A et B des ensembles. Ils sont égaux s'ils ont les mêmes éléments. Inclusion d'un ensemble dans un autre : A ⊂ B si tout élément de A est élément de B. Si A ⊂ B et B ⊂ A, alors A = B. Les opérations les plus courantes entre deux ensembles sont : L'intersection : A ∩ B a pour éléments les éléments qui appartiennent à A et à B La réunion : A ∪ B a pour éléments les éléments qui appartiennent à A ou à B Le passage au complémentaire : si E est un ensemble et si A ⊂ E, les éléments de CE(A) sont les éléments de E qui ne sont pas éléments de A Les sous-ensembles d'un ensemble E sont les éléments d'un nouvel ensemble, noté P(E), qui est l'ensemble des "parties de E". Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 10 Définition Une relation d'un ensemble E dans un ensemble F est une propriété des éléments de E × F. Si la propriété est vraie pour le couple (x, y), on dit que "x est en relation avec y", et l'on écrit souvent "x R y". Dans le cas contraire, on dit que "x n'est pas en relation avec y". La lettre R désigne alors la relation et symbolise la phrase "est en relation avec" (une autre lettre que R peut évidemment être utilisée). Le sous-ensemble de E × F formé des couples (x, y) vérifiant x R y est le graphe de la relation R. 1-2 Applications Les applications sont des relations particulières, celles qui vérifient : "pour tout x de E il existe un unique y de F tel que x est en relation avec y" Cet élément y de F est appelé l'image de x par l'application. Si f désigne cette application, on écrit : y = f(x). L'application identique de E, notée IdE, est l'application de E dans E qui associe à tout x de E l'élément x lui-même. Si y = f(x), l'élément x est appelé un antécédent de y. Si f est une application de E dans F, et g une application de F dans G, on définit une application composée de f et g, notée gof, par : gof (x) = g(f(x)). Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 11 Définition Soit f une application de E dans F, et A une partie de E, A' une partie de F. On appelle image directe de A par f et l'on note f*(A) (ou f(A)) le sous-ensemble de F défini par : f* (A) = {y ∈ F | il existe x ∈ A tel que f(x) = y}. On appelle image uploads/Litterature/ daniel-alibert-cours-et-exercices-corriges-volume-1.pdf