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DEVOIR DE MAISON 2 MA IHBI On considèrel 'endomorphisme f de R 3défini par : f

DEVOIR DE MAISON 2 MA IHBI On considèrel 'endomorphisme f de R 3défini par : f (x , y, z )=(2 x−2 y+ z,2x−3 y+2z ,−x+2 y ) On considèrelesbase B=(e1,e1,e1) et B '=(u,v ,w)telsque:u=(1;2;−1), v=(1; 0;−1)et w=(2;1;0). Partie1 1¿Déterminer la matrice A de f danslabase B. 2¿ Démontrer quef est unautomorphisme. 3¿ Enutilisant la méthodedeCAYLAY HAMILTON ,déterminer l 'nverse dela matrice A . 4 ¿ Déterminer les valeurs propres dela matrice A. 5¿ Déterminer lessous espaces propres associésàchaque valeur propre. 6¿ Déduis−enquela matrice A est diagonalisable. Partie2 On considèrelesvecteursu=(1;2;−1),v=(1;0;−1)et w=(2;1;0) de R 3. 1¿Justifier quela famille B '=(u, v,w )est unebase de R 3. 2¿ Donner lamatricede passage P delabase Bàlabase B '. 3¿Justifie quelamatricede passage dela B ' àlabase Best P −1=1 4( −1 2 −1 1 −2 −3 2 0 2 ) . 4 ¿ Montrer que P −1 A P=D où D estunematrce diagonaleàdéterminer. 5¿ Démontrer que A n=P D n P −1et déduis−en A nenfonction den. 6¿ Montrer qur A 4=( −19 40 −20 −40 81 −40 20 −40 21 ) . Arendre≤Samedià Madamel 'inspectrice AURELIE uploads/Litterature/ devoir-de-maison-2ma-ihbi.pdf