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Couverture de la première édition anglaise des Éléments par Henry Billingsley,

Couverture de la première édition anglaise des Éléments par Henry Billingsley, 1570. Éléments (Euclide) Les Éléments (en grec ancien Στοιχεία / stoïkheïa) est un traité mathématique et géométrique, constitué de 13 livres organisés thématiquement, probablement écrit par le mathématicien grec Euclide vers 300 av. J.-C. Il comprend une collection de définitions, axiomes, théorèmes et leur démonstration sur les sujets de la géométrie euclidienne et de la théorie des nombres primitifs. L'ouvrage est le plus ancien exemple connu d'un traitement axiomatique et systématique de la géométrie et son influence sur le développement de la logique et de la science occidentale est fondamentale. Il s'agit probablement du recueil qui a rencontré le plus de succès au cours de l'Histoire : les Éléments furent l'un des premiers livres imprimés (Venise, 1482) et n'est très probablement précédé que par la Bible pour le nombre d'éditions publiées (largement plus de 1 000). Pendant des siècles, il a fait partie du cursus universitaire standard. Principes Postulats du livre I Notions ordinaires du livre I[1] Postérité Histoire Axiomatisation ultérieure Livres Notes et références Annexes Bibliographie Traductions en français des Éléments Études Articles connexes Liens externes Sommaire Principes Une des plus anciennes versions connues des Éléments : le P. Oxy. 29 (en) (fragment daté des environs de l'an 300, ou peut-être de l'an 100). Codex Vaticanus 190. La méthode d'Euclide a consisté à fonder ses travaux sur des définitions, des « demandes » (postulats), des « notions ordinaires » (axiomes) et des propositions (problèmes résolus, au nombre de 470 au total dans les treize livres). Par exemple, le livre I contient 35 définitions (point, ligne, surface, etc.), cinq postulats et cinq notions ordinaires. 1. Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques. 2. Un segment de droite peut être prolongé indéﬁniment en une ligne droite. 3. Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l'une de ses extrémités comme centre. 4. Tous les angles droits sont congruents. 5. Si deux lignes droites sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d'un côté est inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté. 1. Deux choses égales à une troisième sont aussi égales entre elles. 2. Si des grandeurs égales sont ajoutées à d'autres grandeurs également égales entre elles, leurs sommes sont égales. 3. Si des grandeurs égales sont soustraites à d'autres grandeurs égales, leurs différences sont égales. 4. Si des grandeurs qui coïncident, s'adaptent avec une autre, elles sont égales entre elles. 5. Le tout est plus grand que la partie. Le succès des Éléments est dû principalement à sa présentation logique et organisée. L'utilisation systématique et efficace du développement des démonstrations à partir d'un jeu réduit d'axiomes incita à les utiliser comme livre de référence pendant des siècles. Tout au long de l'Histoire, quelques controverses entourèrent les axiomes et les démonstrations d'Euclide. Néanmoins, les Éléments restent une œuvre fondamentale dans l'histoire des sciences et furent d'une influence considérable. Les scientifiques européens Nicolas Copernic, Johannes Kepler, Galileo Galilei et particulièrement Isaac Newton furent tous influencés par les Éléments et appliquèrent leur connaissance du livre à leurs propres travaux. Certains mathématiciens (Bertrand Russell, Alfred North Whitehead) et philosophes (Baruch Spinoza) ont également tenté d'écrire leurs propres Éléments, des structures déductives axiomatiques appliquées à leurs disciplines respectives. Postulats du livre I Notions ordinaires du livre I1 Postérité Des cinq postulats énoncés dans le livre I, le dernier, dont on déduit le postulat des parallèles : « en un point extérieur à une droite, ne passe qu'une unique droite qui lui est parallèle », a toujours semblé moins évident que les autres. Plusieurs mathématiciens soupçonnèrent qu'il pouvait être démontré à partir des autres postulats, mais toutes les tentatives pour ce faire échouèrent. Vers le milieu du XIXe siècle, il fut démontré qu'une telle démonstration n'existe pas, que le cinquième postulat est indépendant des quatre autres et qu'il est possible de construire des géométries non euclidiennes cohérentes en prenant sa négation. Des traces écrites de notions de longueurs et d'orthogonalité apparaissent en Mésopotamie à une période située entre 1900 et 1600 av. J.-C. On y trouve de nombreuses traces d'une connaissance du « théorème de Pythagore » au moins en tant que règle de calcul . Bien que la plupart des théorèmes lui soient antérieurs, les Éléments étaient suffisamment complets et rigoureux pour éclipser les œuvres géométriques qui les ont précédés et peu de choses sont connues sur la géométrie pré-euclidienne. Par exemple, si on en croit le néoplatonicien Proclus (Ve siècle), Hippocrate de Chios fut, au Ve siècle av. J.-C., le premier auteur connu de la tradition ayant écrit des éléments de géométrie, mais ceux-ci ne nous sont pas parvenus . Son auteur Euclide, actif autour de 300 av. J.-C., paraît avoir été influencé par Aristote (-384-322 av. J.-C.). Son histoire ainsi que celle de son traité sont mal connues. L'ouvrage fut traduit en arabe après avoir été donné aux Arabes par l'Empire byzantin, puis traduit en latin d'après les textes arabes (Adelard de Bath au XIIe siècle, repris par Campanus de Novare). Sa première édition imprimée date de 1482 et le livre connut par la suite un nombre d'éditions estimé à plus de 1000, qui n'est très probablement dépassé que par la Bible . Des copies du texte grec existent toujours, par exemple dans la bibliothèque du Vatican ou à la Bodleian Library à Oxford, mais ces manuscrits sont de qualité variable et toujours incomplets . Par analyse des traductions et des originaux, il a été possible d'émettre des hypothèses sur le contenu originel, dont il ne subsiste aucune copie intégrale. Les mathématiciens remarquèrent au fil du temps que les démonstrations d'Euclide nécessitaient des hypothèses additionnelles, non spécifiées dans le texte original, par exemple ce qui est devenu l'axiome de Pasch. David Hilbert a donné en 1899 un développement axiomatique de la géométrie euclidienne du plan et de l'espace dans ses Grundlagen der Geometrie (Les fondements de la géométrie), les axiomes sont explicités, et présentés de façon organisée. Les Éléments sont organisés comme suit : Les livres I à IV traitent de géométrie plane : Le livre I énonce les propriétés de base de la géométrie : théorème de Pythagore, égalités angulaires et d'aires et parallélisme, somme des angles du triangle, les trois cas d'égalité des triangles. Le livre II est couramment nommé livre de l'algèbre géométrique, parce qu'il est un livre Histoire 2 3 4 5, 6 7 Axiomatisation ultérieure Livres de géométrie facile à interpréter comme de l'algèbre, ce qu'il n'est pas exactement mais il a été compris et utilisé en mathématiques arabes pour l'algèbre. En particulier, les théorèmes qu'il énonce correspondent en grande partie à nos identités remarquables. Un cas particulier d'un problème correspondant à une équation du second degré est également donné. Le livre III traite du cercle et de ses propriétés : angle inscrit, puissance d'un point, tangente. Le livre IV s'occupe de l'inscription et de la circonscription de triangles ou de polygones réguliers dans le cercle. Les livres V à X font intervenir les proportions : Le livre V est le traité des proportions de grandeurs. Le livre VI est celui de l'application des proportions à la géométrie : théorème de Thalès, ﬁgures semblables. Le livre VII est consacré à l'arithmétique : divisibilité, nombres premiers, PGCD, PPCM. Le livre VIII traite de l'arithmétique des proportions et des suites géométriques. Le livre IX applique les précédents : inﬁnité des nombres premiers, somme d'une suite géométrique, nombres parfaits. Le livre X est une tentative de classiﬁcation des grandeurs irrationnelles. L'irrationalité de y est démontrée. Les livres XI à XIII traitent de géométrie dans l'espace : Le livre XI généralise dans l'espace les livres I à VI : perpendicularité, parallélisme, volumes de parallélépipèdes. Le livre XII compare ou calcule des aires et volumes en utilisant la méthode d'exhaustion : disque, cônes, pyramides, cylindres et sphère. Le livre XIII est la généralisation du livre IV dans l'espace : section dorée, les cinq polyèdres réguliers inscrits dans une sphère. Il existe deux livres apocryphes, présents en annexe dans la traduction de Heath. 1. Léonard Milodinow, Dans l’œil du compas : la géométrie d'Euclide à Einstein, p. 49. Voir aussi la traduction de Peyrard (http://remacle.org/bloodwolf/erudits/euclide/geometrie1.htm#_ftnref3), légèrement différente. 2. (en) Jöran Friberg, A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts : Manuscripts in the Schøyen Collection : Cuneiform Texts I, New York, Springer-Verlag, coll. « Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences », 2005, 533 p. (ISBN 978-0-387-34543-7, lire en ligne (https://books.google.com/books?id=sOiHePN7cW8C& printsec=frontcover)) donne une liste de tablettes en cunéïforme qui utilisent cette « règle de la diagonale » dans A.8.6. The Diagonal Rule in the corpus of Mathematical Cuneiforms Texts, p. 449-451. 3. Cf. Thomas Little Heath, A History of Greek Mathematics, vol. 1 : From Thales to Euclid, CUP, 2013 (1 éd. 1921) (ISBN 978-1-108-06306-7, lire en ligne (https://books.google.fr/books?id=J- kaAgAAQBAJ&pg=PA182)), p. 182-202. 4. « « Éléments » d'Euclide — uploads/Litterature/ elements-euclide-wikipedia.pdf