Analyse mathématique I Examen (17 janvier 2001) Nom : Prénom : Section : Veuill

Analyse mathématique I Examen (17 janvier 2001) Nom : Prénom : Section : Veuillez commencer par écrire en lettres majuscules votre NOM, PRÉNOM et SECTION sur toutes les feuilles. Les explications sont aussi (voire plus) importantes que les résultats. Soignez donc la ma- nière dont vous vous exprimez ; ne pensez pas que les correcteurs peuvent « boucher les trous » parce qu’ils connaissent le cours. Les explications concises et pertinentes sont les plus appréciées ! Le manque d’explication ou le « bla bla » sont honnis1 ! Ne confondez pas la rédaction de vos réponses avec celle de vos brouillons ! La grandeur des espaces laissés après les questions vous donne une indication sur la lon- gueur des réponses attendue. N’employez pas le dos de la feuille de la question précédente pour finir votre réponse ! Question 1. La suite  1 en  n∈N converge-t-elle ? Si oui, vers quelle limite ? Justifiez. 1honnir v. tr. Couvrir publiquement de honte. Je ne laisserai personne me honnir. — Vieilli ou litt. Être honni de, par qqn, lui inspirer de la haine et du mépris. ∥Honni soit qui mal y pense ! : honte à celui qui y voit du mal. Dictionnaire Universel Francophone c ⃝1997 HACHETTE/EDICEF. (www.francophonie.hachette-livre.fr) 1/8 Analyse mathématique I Examen (17 janvier 2001) Nom : Prénom : Section : Question 2. Soit (xn)n∈N ⊆R et x⋆∈R. Définissez « xn converge vers x⋆lorsque n →∞». Montrez à partir de cette définition que 1−n 1+n − − − → n→∞−1. 2/8 Analyse mathématique I Examen (17 janvier 2001) Nom : Prénom : Section : Question 3. Soit (bn)n∈N la suite définie par b0 ∈R et bn+1 = 1 2(bn +3), n ⩾0. Montrez que la suite cn := bn −3 est une suite géométrique. La suite (bn) converge-t-elle et, le cas échéant, vers quelle limite ? Justifiez vos affirmations. 3/8 Analyse mathématique I Examen (17 janvier 2001) Nom : Prénom : Section : Question 4. Soit (zn)n∈N ⊆C la suite définie par zn = 7n+1i +14·3n 7n (1+ i √ 2) . La suite (zn) converge-t-elle ? Si oui, déterminez sa limite. Question 5. Soit (vn)n∈N ⊆R3 la suite définie par vn = 5n n!, n8 3n, n √ 27  . Calculez lim n→∞vn. 4/8 Analyse mathématique I Examen (17 janvier 2001) Nom : Prénom : Section : Question 6. Soit f : R2 \ {(0,0)} →R : (x,y) 7→x5y+xy5 x4 +y4 . Calculez la limite de f(x,y) pour (x,y) →(0,0). 5/8 Analyse mathématique I Examen (17 janvier 2001) Nom : Prénom : Section : Question 7. Définissez l’adhérence d’un ensemble A ⊆RN ; la notion de suite de Cauchy ; le fait que la suite (xn)n∈N converge vers +∞. Question 8. Justifiez vos réponses. Soient les ensembles A := {x ∈R : x2 < 3} et B :=  cos π + 1 n  : n ∈N, n ̸= 0 . Calculez, s’il existe, supA. Calculez, s’il existe, maxA. Calculez, s’il existe, infB. 6/8 Analyse mathématique I Examen (17 janvier 2001) Nom : Prénom : Section : Question 9. Considérons l’ensemble P := {a0 + a1x + a2x2 : a0,a1,a2 ∈R}. Pour p = a0 + a1x+a2x2 ∈P, on définit ∥p∥P := |a0|+|a1|+|a2|. Montrez que ∥•∥P : P →R est une norme. 7/8 Analyse mathématique I Examen (17 janvier 2001) Nom : Prénom : Section : Question 10. Complétez la dernière colonne par « vrai » ou « faux ». Justifiez vos réponses ci-dessous. 1 Toute suite de Cauchy dans Q est convergente dans Q. 2 Toute suite convergente est soit croissante soit décroissante. 3 Toute suite décroissante converge vers 0. 4 L’ensemble {0}∪{1} est fermé. 5 Tout sous-ensemble de R est soit ouvert, soit fermé. 6 Si (xn)n∈N ⊆]0,+∞[ est croissante, alors (1/xn)n∈N est décroissante. Justifications. (Celles-ci peuvent être des contre-exemples, des théorèmes vus au cours, des petits raisonnements,...). 8/8 uploads/Litterature/ examen-l1-analyse-2001-1.pdf

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