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09/07/2018 Exercices corrigés -Séries de Fourier http://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/analyse/suitesseries/seriefour&type=fexo 1/36 Bibm@th.net Rechercher sur le site... Bibm@th Rechercher sur le site... Accueil Ressources Bibliothèques Références Thèmes Forum Bibliothèque d'exercicesBibliothèque de problèmes Accueil Ressources Collège Math Sup Math Spé Capes Agreg interne BTS Bibliothèques Bibliothèque d'exercices Bibliothèque de problèmes Références Dictionnaire Biographie de mathématiciens Formulaire Lexique français/anglais Thèmes Cryptographie et codes secrets Jeux et énigmes Carrés magiques Mathématiques au quotidien Dossiers Forum Ressources mathématiques > Base de données d'exercices > Exercices d'analyse > Accéder à mon compte > Accéder à ma feuille d'exercices > Exercices corrigés - Séries de Fourier Exercice 1 - Comprendre le cours [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé 1. Donner la décomposition en série de Fourier de la fonction définie par . f f(x) = cos(5x) 09/07/2018 Exercices corrigés -Séries de Fourier http://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/analyse/suitesseries/seriefour&type=fexo 2/36 2. En utilisant le théorème de Parseval, prouver que deux fonctions continues -périodiques ayant les mêmes coefficients de Fourier sont égales. 3. Soit une fonction continue périodique. Montrer que tend vers 0 lorsque tend vers . 4. On suppose de plus que est de classe . Prouver que . 5. Soit la fonction "créneau" définie par si , si , et prolongée par -périodicité. Quelle est la régularité de cette fonction? Que dire de la série de Fourier de en 0? Peut-on avoir convergence normale de la série de Fourier de vers sur ? 6. Soit la fonction paire -périodique définie par sur . est-elle par morceaux? Indication 1. 2. Rappel : si est continue et vérifie , alors . 3. Utiliser l'identité de Parseval. 4. Intégrer par parties. 5. 6. Corrigé 1. On peut bien sûr se lancer dans des calculs très complexes.... On peut! Mais quand même, la décomposition en série de Fourier consiste à représenter une fonction périodique comme somme des fonctions périodiques les plus élémentaires possibles (à savoir les sinus et les cosinus). Alors, bien entendu, la décomposition en série de Fourier de est ! A vous de voir si vous jugez utile de justifier cela! Cela dit, c'est une bonne occasion de rappeler que et 2. Posons . Alors . De plus, est continue et vérifie donc les conclusions du théorème de Parseval, à savoir Puisque est continue, positive, d'intégrale nulle sur , on en déduit que sur . Par périodicité, sur tout entier. 3. D'après le théorème de Parseval, on sait que La série est donc convergente. Son terme général tend vers 0, et on conclut que converge bien vers 0 lorsque tend vers . 4. Tout repose sur des intégrations par parties. En effet, si est et périodique, on a 2π f 2π− ( (f)) cn |n| +∞ f Ck (f) = o(1/ ) cn nk f f(x) = 1 x ∈[0, π[ f(x) = −1 x ∈[−π, 0[ 2π f f f [−π, π] f 2π f(x) = x − − √ [0, π] f C1 h : [a,b] →R+ h(t)dt = 0 ∫b a h = 0 cos(5x) …cos(5x) cos(px)cos(qx)dx = 0 si p ≠q ∫ 2π 0 cos(px)sin(qx)dx = 0 pour tous p,q. ∫ 2π 0 h = f −g (h) = (f) − (g) = 0 cn cn cn h |h(t) dt = | (h) = 0. ∫ π −π |2 ∑ n∈Z cn |2 t ↦|h(t)|2 [−π,π] h = 0 [−π,π] 2π− f = g R |f(t) dt = | (f) . ∫ π −π |2 ∑ n∈Z cn |2 | (f) ∑n∈Z) cn |2 ( (f)) cn |n| +∞ f C1 2π− ( ) cn f ′ = = = (t) dt 1 2π ∫ π −π f ′ e−int + f(t) dt 1 2π [f(t) ] e−int π −π in 2π ∫ π −π e−int (in) (f). cn 09/07/2018 Exercices corrigés -Séries de Fourier http://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/analyse/suitesseries/seriefour&type=fexo 3/36 Par récurrence, on obtient que . Pour , on a donc : Pour conclure, il suffit de remarquer que tend vers 0 lorsque tend vers d'après la question précédente. Cette idée d'intégration par parties est très utile lorsqu'on veut relier régularité d'une fonction et comportement de ses coefficients de Fourier. 5. La fonction est de classe par morceaux. En effet, sur l'intervalle , elle est la restriction à d'une fonction de classe sur (la fonction identiquement égale à 1), et sur , elle est la restriction de d'une fonction de classe sur (la fonction identiquement égale à ). Le théorème de convergence simple peut donc s'appliquer. En particulier, en 0, la série de Fourier de converge vers La série de Fourier de ne peut pas converger normalement vers . En effet, si on avait convergence normale, chaque somme partielle étant continue, la limite serait elle aussi continue. Et n'est pas continue en 0. 6. n'est pas par morceaux : en effet, sinon, on pourrait définir sur une fonction de classe qui coïncide avec sur . Ce n'est pas possible car tend vers en 0. Exercices de calcul Exercice 2 - Quelques décompositions en séries de Fourier [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Déterminer les séries de Fourier (termes en sinus et cosinus) des fonctions suivantes : 1. périodique, définie par si . 2. la fonction créneau : est -périodique, définie par si , et si . 3. la fonction périodique, où , définie par si . Indication Il suffit de calculer les intégrales, et elles sont toutes très élémentaires. On pourra se simplifier un petit peu la vie si l'on utilise la parité des fonctions. Corrigé 1. Cette fonction est impaire, les coefficients en cosinus sont nuls. On a par définition : On calcule ce coefficient grâce à une intégration par parties : 2. Cette fonction est elle-aussi impaire, et il suffit là encore de calculer les coefficients en sinus : Ceci s'écrit plus simplement : ( ) = (in (f) cn f (k) )kcn n ≠0 (f) = ( ). cn 1 iknk cn f (k) ( ) cn f (k) |n| +∞ f C1 [0,π[ [0,π[ C1 [0,π] [−π,0[ C1 [0,π] −1 f ( f(x) + f(x)) = 0. 1 2 lim x→0− lim x→0+ f f f f C1 [0,π] C1 f ]0,π] (x) f ′ +∞ f 2π− f(x) = x −π ≤x < π f 2π f(x) = 1 x ∈[0, π[ f(x) = −1 x ∈[−π, 0] L− L > 0 f(x) = |x| x ∈[−L/2, L/2] = xsin(nx)dx. bn 1 π ∫ π −π = (−1 bn )n+1 2 n = (−1)sin(nx)dx + sin(nx)dx = (1 −cos(nπ)). bn 1 π ∫ 0 −π 1 π ∫ π 0 2 nπ = { bn 0 4 nπ pour n pair pour n impair 09/07/2018 Exercices corrigés -Séries de Fourier http://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/analyse/suitesseries/seriefour&type=fexo 4/36 3. Remarquons que la fonction est paire : il suffit de calculer les coefficients en cosinus. On a : On calcule ceci par intégration par parties pour trouver : Exercice 3 - Application aux calculs de séries [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Déterminer la série de Fourier de la fonction périodique de période définie par pour . En déduire la somme des séries , . Indication Le calcul des coefficients de Fourier se fait par intégration par parties. Appliquer ensuite le théorème de Dirichlet, et trouver les deux premières sommes en prenant des valeurs particulières pour . Pour la troisième somme, on pourra appliquer le théorème de Parseval. Corrigé La fonction est paire, ses coefficients en sinus sont nuls, et on a : La calcul de se fait par une double intégration par parties, et on trouve : Maintenant, est continue et par morceaux : cette fonction est somme de sa série de Fourier pour tout réel, et on a donc, pour tout dans , Si l'on fait , on obtient : On obtient exactement : Si l'on fait , on obtient cette fois : = |x|dx = xdx = . a0 1 L ∫ L/2 −L/2 2 L ∫ L/2 0 L 4 = |x|cos( nx)dx = xcos( nx)dx. an 2 L ∫ L/2 −L/2 2π L 4 L ∫ L/2 0 2π L = ((−1 −1) = { an L n2π2 )n 0 −2L n2π2 si n est pair si n est impair 2π f(x) = x2 −π ≤x ≤π ∑ n≥1 1 n2 , ∑ n≥1 (−1)n+1 n2 ∑ n≥1 1 n4 x f = dx = , a0 1 2π ∫ π −π x2 π2 3 = cos(nx)dx. an 2 π ∫ π 0 x2 an = (−1 . an )n 4 n2 f C1 x [−π,π] = + 4 cos(nx). x2 π2 3 ∑ n≥1 (−1)n n2 x = π = + 4 . π2 π2 3 ∑ n≥1 1 n2 = . ∑ n≥1 1 n2 π2 6 x = 0 = . ∑ n≥1 (−1)n+1 n2 π2 12 09/07/2018 Exercices corrigés -Séries de Fourier http://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/analyse/suitesseries/seriefour&type=fexo 5/36 Pour calculer la dernière somme demandée, il faut pouvoir mettre les coefficients au carré, et c'est ce que l'on obtient dans l'égalité de Parseval, que l'on peut appliquer ici puisque est continue : Ceci donne : uploads/Litterature/ exercices-corriges-series-de-fourier-pdf.pdf