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Banque pt 2018 epreuve a partie i

Lycée Laetitia Bonaparte Banque PT ?? Épreuve A Spé PT Problème d ? algèbre linéaire Partie I On considère les matrices carrées F EB F F ?? F EC F F A ?? F ED F F ?? F EB F F ?? F EC F F B ?? F ED F F Les matrices A et B sont-elles diagonalisables dans R Calculer A Déterminer une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que A P DP ?? Retrouver sans calcul que B est diagonalisable dans R Partie II On se place dans l ? espace euclidien orienté R muni de la base orthonormée directe canonique B e e e Pour un endomorphisme f de R on note f f f On note f la rotation autour de l ? axe dirigé par e et d ? angle ? a Décrire l ? endomorphisme f b Écrire la matrice C de f dans la base B c Les matrices C et C sont-elles diagonalisables dans R dans C Soit w ?? ?? On note g la rotation autour de l ? axe dirigé par w ?? et d ? angle ? a Déterminer un vecteur unitaire w colinéaire à w ?? puis deux vecteurs u et v tels que B ?? u v w forme une base orthonormée directe b Écrire la matrice de g dans la base B ?? puis dans la base B On note MB cette dernière matrice c Les matrices MB et MB sont-elles diagonalisables dans R Partie III On considère maintenant un espace vectoriel E sur R de dimension ?nie Pour un endomorphisme f de E f désigne toujours f f La notation IdE désigne l ? endomorphisme identité de E Soit f g deux endomorphismes de E tels que f g Montrer que Im g ? ker f On suppose dans cette question que f est un endomorphisme diagonalisable de E On désigne par ? ?p avec p ?? N ? ses valeurs propres C a Montrer que pour tous ? ?? R f ?? IdE f ?? ?IdE f ?? ?IdE f ?? IdE b Montrer que pour tout vecteur propre v de f on a f ?? ? IdE f ?? ?pIdE v c Soit x ?? E un vecteur quelconque En décomposant x dans une base bien choisie montrer que f ?? ? IdE f ?? ?pIdE x On suppose dans cette question que f est un endomorphisme de E tel que f ?? IdE f ?? ?IdE pour des réels et ? distincts a Déterminer deux réels a et b tels que a f ?? IdE b f ?? ?IdE IdE b En déduire que E Im f ?? IdE Im f ?? ?IdE c Déduire de que Im f ?? ?IdE ? ker f ?? IdE et que Im f ?? IdE ? ker f ?? ?IdE d Montrer que E ker f ?? IdE ker f ?? ?IdE e Montrer que E ker f ?? IdE