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✞ ☎ FORMULAIRE DERIVEES ET PRIMITIVES USUELLES ✝ ✆ 1) Opérations sur les dérivé

✞ ☎ FORMULAIRE DERIVEES ET PRIMITIVES USUELLES ✝ ✆ 1) Opérations sur les dérivées Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I à valeurs réelles. Soit λ ∈ R . Alors : • La fonction u + v est dérivable sur I et (u + v)0 = u0 + v0. • La fonction λu est dérivable sur I et (λu)0 = λu0. • La fonction u × v est dérivable sur I et (uv)0 = u0v + uv0. u Si v ne s’annule pas sur I, alors la foncto v est dérivable sur I et u v 0 = u0v − uv0 v2 2) Dérivées et primitives des fonctions usuelles Le tableau suivant donne les domaines de dérivabilité et les dérivées des fonctions usuelles déjà connues : la fonction définie par f (x) = est définie sur est dérivable sur admet pour dérivée la fonction définie par f 0(x) = xn, où n ∈ N R R nxn−1 1 xn , où n ∈ N ∗ R∗ R∗ n − xn+1 √x [0; +∞[ ]0; +∞[ 1 2√x ln(x) ]0; +∞[ ]0; +∞[ 1 x ex R R ex sin(x) R R cos(x) cos(x) R R − sin(x) Par lecture inverse de ce tableau, on peut donner le tableau des primitives de certaines fonctions usuelles : La fonction définie par f (x) = admet une primitive définie par F (x) = sur tout intervalle I contenu dans a, où a ∈ R ax R xn, où n ∈ N∗ 1 xn+1 n + 1 R 1 xn , où n ∈ N∗\{1} 1 −(n − 1)xn−1 R∗ 1 x ln(x) ]0; +∞[ 1 √x 2√ x ]0; +∞[ ex ex R sin(x) − cos(x) R cos(x) sin(x) R ✿ R ✿ e ✿ m ✿✿ a ✿ r ✿ q ✿ u ✿ e ✿ : Ce tableau sera "amélioré" en cours d’année, notamment en donnant une primitive de la fonction racine carrée et une primitive de la fonction logarithme népérien • 3) Dérivée des composées Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I à valeurs réelles. Le tableau ci-dessous fournit les formules de dérivation des fonctions composées suivantes : La fonction définie par f = est dérivable sur I de dérivée f 0 égale à avec la condition un où n ∈ N nun−1 × u0 1 un où n ∈ N∗ n − un+1 × u0 u 6= 0 sur I √u 1 2√u × u0 u > 0 sur I ln(u) 1 u × u0 u > 0 sur I eu eu × u0 sin(u) cos(u) × u0 cos(u) − sin(u) × u0 Par lecture inverse de ce tableau, on peut donner le tableau des primitives de certaines fonctions usuelles : La fonction définie par f = admet une primitive sur I définie par F = avec la condition u0un où n ∈ N ∗ 1 un+1 n + 1 u0 un où n ∈ N∗ 1 −(n − 1)un−1 u 6= 0 sur I u0 u ln(u) u > 0 sur I u0 u2 1 − u u 6= 0 sur I u0 √u 2√ u u > 0 sur I u0eu eu u0 sin(u) − cos(u) u0 cos(u) sin(u) uploads/Litterature/ formulaire-fonctions-usuelles.pdf