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Petite histoire de l’arithmétique © F. Laroche, septembre 2006 1 http://promena

Petite histoire de l’arithmétique © F. Laroche, septembre 2006 1 http://promenadesmaths.free.fr/ Petite histoire de l’Arithmétique 1. Systèmes de numération écrite 2 1-1 : Les ancètres 2 1-2 : Egypte 3 1-3 : Babylone 4 1-4 : Grèce et Rome 6 1-5 : Chine 7 1-6 : La numération de position 8 1-7 : Bref historique 9 2. Calculer 10 2-1 : Les bases 10 2-2 : Multiplier 12 2-3 : La multiplication arabe 12 2-4 : La multiplication chinoise 13 2-5 : Multiplier automatiquement 15 2-6 : Diviser 16 2-7 : La méthode égyptienne 17 3. Des outils 17 3-1 : Tables à calcul et bouliers 17 3-2 : Le mécanisme d’Anticythère 19 3-3 : Règles à calcul 20 3-4 : Nouveaux outils de calcul 21 3-5 : Machine de Schickard 22 3-6 : Machine de Pascal 22 3-7 : Machine de Liebniz 24 3-8 : Arithmomètre de Thomas 25 3-9 : La multiplication directe 27 4. Arithmétique théorique 28 4-1 : Euclide 28 4-2 : Diophante 29 4-3 : La Chine 29 4-4 : Le 17ème siècle, Bachet et Fermat 29 4-5 : Le 18ème siècle, Euler et Lagrange 30 4-6 : Le 19ème siècle 30 L’arithmétique, comme son nom l’indique (arithmos = …), est l’étude des nombres. Les nombres sont entiers naturels ℕ, entiers relatifs ℤ, ou rationnels ℚ ; ils peuvent également être réels ℝ, voire complexes ℂ, voire pire (quaternions, octonions, etc.) mais le traitement de ces derniers ne fait pas à proprement parler partie de l’arthmétique. La théorie des nombres est la même chose, mais en plus relevé… Tout au long de son développement historique, ses frontières avec l’algèbre et l’analyse ont été mouvantes et souvent imprécises ; une sèparation assez naturelle s’est établie chez les Grecs entre arithmétique pratique (le calcul ou logistique des grecs) et arithmétique théorique, que l’on retrouve toujours. La première comprend les diverses numérations parlées et écrites, la représentation des fractions et les techniques opératoires relatives aux quatre opérations élémentaires : addition, soustraction, multiplication et division. Les numérations parlées remontent chez tous les peuples aux époques les plus reculées. Aristote remarquait déjà que la plupart des peuples comptaient par dizaines. Cependant, on trouve dans plusieurs idiomes, le grec par exemple, des restes d’une base 5 et dans d’autres, le français notamment, des vestiges d’une base 20. Chiffre : du latin médiéval cifra "zéro", de l'arabe sifr "vide". Chacun des caractères qui représentent les nombres. Petite histoire de l’arithmétique © F. Laroche, septembre 2006 2 http://promenadesmaths.free.fr/ 1. Systèmes de numération écrite 1-1 : Les ancètres Il y a quelque 40 000 ans, lorsqu’ils commencèrent à se civiliser, les premiers Homo sapiens ne connaissaient pas les chiffres. Il est probable qu’ils commencèrent à désigner des quantités avec leurs doigts puis qu’ils pensèrent à les « écrire » quelque part : certains signes peints font penser à des comptages de nombre d’animaux ou de lunaisons ou Dieu seul sait quoi… En tout cas on peut voir sur un os vieux de 10 000 ans l'image d'un sanglier avec 17 traits. Le chasseur y décrit certainement ses chasses. Cette technique fut longtemps employée car facile à réaliser et facile à comprendre. Mais avec l'usage, nos ancêtres se rendirent certainement compte qu’avec de nombreux traits des erreurs apparaissent car notre capacité visuelle est limitée. Lorsque le nombre de traits dépasse 4, tout se brouille. On ne sait plus très bien où l'on en est. Cette méthode ne permet pas de recenser de grandes quantités et cela reste toujours vrai. D’après Stanislas Dehaene (La bosse des Maths, éd. Odile Jacob), l’homme, de même que la plupart des animaux, dispose d’un accumulateur intégré qui lui permet de « peser » des quantités : deux zones spécialisées du cerveau sont sollicitées. Dans une zone du cortex frontal on compte de 1 à 4 directement ; lorsque les quantités considérées deviennent plus importantes une zone plus profonde intervient et prend le relais : on va s’attacher à estimer le résultat et non à compter directement. Un petit test : essayez, au premier coup d'oeil, de dire combien il y a de symboles affichés. De 1 à 4, ça va tout seul. < < = < = ? Petite histoire de l’arithmétique © F. Laroche, septembre 2006 3 http://promenadesmaths.free.fr/ H < = B Au-delà de 4, tout devient confus. Il faut se mettre à compter. Combien de temps mettez-vous ? M N A L ? Ë B 5 ! H Ë B La solution est venue il y a quelques milliers d'années : il s'agit d'éviter d'aligner plus de quatre traits successifs. Le nombre 5 devient quatre entailles traversées par une barre. Puis une barre barrée puis un V. Pour les autres nombres, on ajoute des traits que l’on barre, etc. ce que l’on fait encore (par exemple pour compter des bulletins de vote). 1-2 : Egypte La numération écrite égyptienne est fondée sur la base 10. Lorsqu’il s’agit de ce que l’on pourrait appeler la numération gravée (hiéroglyphes), chaque puissance de 10 possède un signe propre : unité (un baton) , dizaine , centaine , millier (une fleur de lotus), dizaine de mille (un doigt montrant le ciel), centaine de mille (un tétard, symbole du non-dénombrable : il y a beaucoup de tétards au bord du Nil), million (le dieu de l’infini) . Pour représenter un nombre on accole les symboles sans ordre bien établi, avec parfois des simplifications : Sur cette photo, les hiéroglyphes symbolisent le chiffre 4622. IIII IIII II IIII I Petite histoire de l’arithmétique © F. Laroche, septembre 2006 4 http://promenadesmaths.free.fr/ Quatre fleurs de lotus = 4 milliers = 4000 Six spirales = 6 centaines = 600 Deux U à l'envers = 2 dizaines = 20 Deux barres à gauche = 2 unités = 2 représente 400 000. L’écriture hiératique amène également diverses solutions qui font penser aux numérations alphabétiques ultérieures (grecque, hébraique et arabe). En général les Egyptiens n’utilisent pas les fractions générales mais les quantièmes ou fractions unitaires : une fraction unitaire est une fraction avec 1 au numérateur et n’importe quoi au dénominateur. N’importe quel quotient de nombres entiers peut s’écrire sous cette forme : par exemple 2 1 1 7 28 4 = + ; pour y arriver la démarche est assez compliquée, mais les scribes égyptiens disposaient de tables et avaient une grande dextérité dans ce domaine. Arriverez-vous à décomposer 2 45 sous forme de somme de deux fractions unitaires dont les dénominateurs sont différents (sinon c’est trop facile…) La multiplication s’effectuait par doublements successifs. 1 15 2 30 4 60 8 120 Par exemple on veut multiplier 15 par 13, on dispose les opérations en colonne : d’un côté les multiples de 2, de l’autre 15 fois les puissances de 2. Comme 13 1 4 8 = + + , on a 13 15 15 60 120 195 × = + + = De tels procédés ont duré très longtemps, par exemple dans la paysannerie russe. Evidemment là encore de nombreux raccourcis sont possibles (multiplier par 10 est évidemment assez simple…). Pour la division on applique la même méthode mais à l’envers : on divise le dividende par 2 aussi longtemps que nécessaire et on recompose le résultat. Evidemment l’utilisation des fractions unitaires n’était pas pour faciliter la tâche. La multiplication et la division nécessitaient de disposer de tables de multiplication par 2. On en trouve dans le papyrus Rhind, où figurent les doubles des inverses des impairs successifs de 3 à 101 : 2 1 1 11 6 66 = + ; 2 1 1 1 31 20 124 155 = + + ; 2 1 1 1 67 40 335 536 = + + ; etc. Malgré les grandes complications entrainées par l’emploi exclusif des fractions unitaires, ceux-ci seront utilisés par les grecs et se retrouveront à Byzance puis dans tout l’Occident pendant très longtemps. 1-3 : Babylone La numération savante babylonienne (qui n’est pas celle utilisée au quotidien), à peu près contemporaine de la numération égyptienne (1800 av. J. C. environ) est une des plus remarquables. Son influence est Petite histoire de l’arithmétique © F. Laroche, septembre 2006 5 http://promenadesmaths.free.fr/ encore très forte dans les mesures de temps, d’angles, d’arcs. Elle utilise d’une part la base 10, mais pour les entiers inférieurs à 60. Pour ces nombres elle procède comme pour les hiéroglyphes et emploie le signe ∇ pour les unités et le signe ≺ pour les dizaines. Ces deux symboles se forment chacun d’un seul coup de stylet sur la tablette d’argile et permettent une écriture rapide ; par exemple 34 s’écrit ∇∇∇ ∇ ≺≺≺ . Au delà de 59 l’écriture devient une écriture de position à base 60 où le symbole pour 60 est toujours ∇ : 61 s’écrit alors ∇∇, 365 s’écrit ∇∇∇∇∇∇ ∇∇∇ ∇∇. Le manque de symbole pour le zéro se faisait cruellement sentir : 61 = ∇∇ et 3601= ∇∇ (602+1) ne se distinguent que par l’écartement plus ou moins grand entre les « chiffres ». Le zéro apparaîtra uploads/Litterature/ histoire-arithmetique.pdf