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CHAPITRE II Régimes transitoires Dans ce chapitre nous étudions la réponse de q

CHAPITRE II Régimes transitoires Dans ce chapitre nous étudions la réponse de quelques circuits linéaires à certaines stimulations. Cela va nous permettre de revoir la mise en équation de ces systèmes et la résolution d'équations différentielles linéaires du premier ou second ordre. Nous verrons ainsi apparaître deux régimes de fonctionnement d'un circuit le régime permanent et le régime transitoire. II.1 Composants de stockage d'énergie Dans le chapitre précédent nous avons étudié le comportement statique de circuits ne comprenant que des sources et des résistances. Nous introduisons ici deux éléments dont les caractéristiques courant- tension font intervenir des relations différentielles ou intégrales. II.1.a Condensateur Un condensateur est un dipôle qui emmagasine une charge électrique q proportionnelle à la tension qui lui est appliquée : la charge q étant portée par l'armature A. Le coefficient de proportionnalité C est appelé capacité du condensateur. L'unité est le Farad noté F. D'autre part la variation par unité de temps de la charge q est égale à l'intensité du courant traversant le condensateur : La charge et donc la tension d'un condensateur ne peuvent pas varier de manière infiniment rapide. La charge et la tension d'un condensateur sont donc toujours des fonctions continues par rapport au temps. Cette caractéristique est utile pour la détermination de conditions initiales. La puissance instantanée reçue par un condensateur peut s'écrire : 1 M. SORE 1AFITC ISGE-BF ELECTRICITE GENERALE Calculons l'énergie reçue par le condensateur pendant un intervalle de temps t : Si nous supposons que le condensateur est initialement déchargé, nous retrouvons l'expression de l'énergie électrostatique stockée dans un condensateur : II.1.b Associations de condensateurs Considérons l'association de n condensateurs de capacités Ck = 1, n en série : Chacun de ces condensateurs est traversé par la même intensité i. Nous pouvons écrire pour chaque condensateur une relation entre cette intensité et la tension à ses bornes : Où uk représente la tension aux bornes du k-ième condensateur. Par définition le condensateur équivalent à la série est tel que : 2 M. SORE 1AFITC ISGE-BF ELECTRICITE GENERALE Ce qui nous donne : Donc : Pour une association de condensateurs en série, l'inverse de la capacité équivalente est égale à la somme des inverses des capacités. Considérons maintenant l'association de n condensateurs de capacités Ck = 1,n en parallèle : Chaque condensateur est soumis à la même d.d.p. u et est traversé par un courant ik : L'intensité du courant total devant traverser le condensateur équivalent est égal à la somme de ces courants donc : 3 M. SORE 1AFITC ISGE-BF ELECTRICITE GENERALE II.1.c Auto-inductance ou self Dans une bobine ou auto-inductance le flux instantané est proportionnel au courant parcourant celle-ci : Φ = Li. Le coefficient L est appelé coefficient d'auto-induction du circuit. Il s'exprime en Henry (H). Lorsque le courant varie, il apparaît dans la self une f.c.é.m. (qui s'oppose à la variation du courant) : La figure suivante montre le symbole que nous utilisons pour une self et sa modélisation en convention récepteur : A cette modélisation correspond l'équation : L'intensité traversant une bobine ne peut pas varier de manière infiniment rapide. L'intensité dans une bobine est donc une fonction continue du temps. Cette caractéristique est utile pour la détermination de conditions initiales. La puissance instantanée reçue par une self s'écrit : En intégrant sur un intervalle de temps t, nous retrouvons l'expression de l'énergie électromagnétique stockée dans une bobine : 4 M. SORE 1AFITC ISGE-BF ELECTRICITE GENERALE II.1.d Associations de bobines Considérons l'association de n bobines en série : Chaque self est traversée par le même courant et est soumise à une tension uk : La tension aux bornes de l'ensemble est égale à la somme des tensions partielles, donc : Pour une association de bobines en série l'inductance équivalente est égale à la somme des inductances. Considérons l'association de n bobines en parallèle (fig. 6). Chaque self est soumise à la même tension u et est traversée par un courant ik tel que : L'intensité totale est égale à la somme des intensités partielles donc : II.2 Charge d'un condensateur au travers d'une résistance Considérons le circuit schématisé sur la figure 7. A l'instant t = 0 nous fermons l'interrupteur. Nous supposons qu'à cet instant la charge initiale du condensateur est nulle : q(t=0) = 0. A tout instant t > 0 nous pouvons écrire : Avec la relation entre la charge et l'intensité : 5 M. SORE 1AFITC ISGE-BF ELECTRICITE GENERALE Nous obtenons donc l'équation différentielle suivante : Toute solution de cette équation différentielle du premier ordre peut s'écrire comme la superposition d'une solution particulière de l'équation complète et de la solution générale de l'équation sans second membre. Comme solution particulière de l'équation complète, nous pouvons considérer le régime stationnaire (indépendant du temps) : Résolvons l'équation différentielle sans second membre : La solution générale s'écrit donc : Cherchons la solution vérifiant la condition initiale : Nous avons donc : 6 M. SORE 1AFITC ISGE-BF ELECTRICITE GENERALE Les figures 8 et 9 donnent l'allure de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur et de l'intensité. II.3 Etablissement d'un courant à travers une bobine Considérons le circuit présenté sur la figure suivante : 7 M. SORE 1AFITC ISGE-BF ELECTRICITE GENERALE Nous supposons qu'initialement l'interrupteur est ouvert et qu'aucun courant ne circule : i(t=0) = 0. A l'instant t = 0 nous fermons l'interrupteur. Pour t > 0 nous pouvons écrire : Ce qui nous donne l'équation différentielle : Nous retrouvons une équation différentielle du premier ordre, dont la solution générale de l'équation sans second membre s'écrit : Comme solution particulière de l'équation complète nous pouvons chercher le régime stationnaire, soit : Ce qui nous donne pour la solution complète : La constante k est défini par la condition initiale : Ce qui nous donne : II.4 Décharge d'un condensateur à travers une bobine et une résistance Nous considérons le circuit RLC suivant : 8 M. SORE 1AFITC ISGE-BF ELECTRICITE GENERALE Nous supposons qu'initialement le condensateur est chargé et qu'il ne circule aucun courant (interrupteur ouvert) : q(t=0) = q0 et i(t=0) = 0. Avec notre choix d'orientation du sens positif pour le courant, nous avons : Ce qui nous donne l'équation différentielle suivante : Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du second ordre. Pour résoudre cette équation il faut chercher les racines de l'équation caractéristique associée : Celle-ci a pour discriminant : La valeur de la résistance pour laquelle ce discriminant est nul est appelée résistance critique : Nous pouvons encore écrire le discriminant sous la forme : 9 M. SORE 1AFITC ISGE-BF ELECTRICITE GENERALE Les solutions de l'équation différentielle sont différentes selon le nombre et le type des racines de l'équation caractéristique. 1 er cas R = Rc L'équation caractéristique admet une racine double réelle : L'équation différentielle admet alors pour solution : Ce qui nous donne pour l'intensité : Les constantes λ et µ sont définies par les conditions initiales : Nous obtenons donc pour la solution globale : 10 M. SORE 1AFITC ISGE-BF ELECTRICITE GENERALE Les figures 12 et 13 illustrent l'allure de l'évolution temporelle de la charge du condensateur et de l'intensité au travers de la self. L'intensité est maximale pour t = τ. 2 èm cas R > Rc L'équation caractéristique a alors deux racines réelles distinctes : De même signe car : 11 M. SORE 1AFITC ISGE-BF ELECTRICITE GENERALE Ces deux racines sont donc négatives. Nous notons leurs valeurs absolues : Qui vérifient :. Les solutions de l'équation différentielle se mettent alors sous la forme : Ce qui nous donne pour l'intensité : Les paramètres λ+ et λ- sont définis par les conditions initiales : Ce qui nous donne : Soit en reportant dans les expressions de la charge et de l'intensité : Les figures 14 et 15 illustrent l'évolution temporelle de ces fonctions. 12 M. SORE 1AFITC ISGE-BF ELECTRICITE GENERALE 3 èm cas R < RC : L'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées : Notons α et ω les valeurs absolues des parties réelles et imaginaire de ces racines : Avec : 13 M. SORE 1AFITC ISGE-BF ELECTRICITE GENERALE La solution générale de l'équation différentielle s'écrit alors : Ce qui nous donne pour l'intensité : Les constantes A et φ sont déterminées par les conditions initiales : Ce qui nous donne : Soit en reportant dans les expressions de la charge q et du courant i : Les figures 16 et 17 montrent l'évolution temporelle de ces quantités. On observe des oscillations amorties. 14 M. SORE 1AFITC ISGE-BF ELECTRICITE GENERALE Nous pouvons comparer les trois régimes de décharge que nous venons de rencontrer. La figure 18 illustre ces trois cas pour différentes valeurs de la résistance, avec une même capacité et une même inductance : - courbe bleue : R = Rc - courbe rouge : R = 2 Rc - courbe verte : R = 0.75 Rc. Nous avons choisi comme unité de temps CL=τ. Nous constatons que la décharge la plus rapide est obtenue avec la résistance critique. Pour une résistance plus grande la uploads/Litterature/ ii-regimes-transitoires.pdf