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Chap02 0910 Chapitre Nombres complexes Objectifs ?? Conna? tre une dé ?nition des complexes une interprétation géométrique Savoir faire des calculs sur les complexes et résoudre les équations du second degré ?? Conna? tre les notions de conjugaison de mod

Chapitre Nombres complexes Objectifs ?? Conna? tre une dé ?nition des complexes une interprétation géométrique Savoir faire des calculs sur les complexes et résoudre les équations du second degré ?? Conna? tre les notions de conjugaison de module et d ? argument d ? un complexe ?? Savoir calculer les racines n-ièmes d ? un complexe ?? Conna? tre la fonction exponentielle complexe ?? Conna? tre les applications géométriques af ?xes distances angles transformations similitudes directes Sommaire I Construction de l ? ensemble des complexes Dé ?nition Opérations sur les complexes Notation algébrique des complexes II Module d ? un nombre complexe Conjugué d ? un nombre complexe Module d ? un complexe Équation du second degré III Nombres complexes de module Le groupe unité Exponentielle complexe Exponentielle d ? un imaginaire pur Formules d ? Euler et de Moivre IV Argument d ? un nombre complexe Forme trigonométrique Racines n-ièmes d ? un nombre complexe V Représentation géométrique des complexes applications Af ?xe Distances Angles orientés Transformations du plan complexe VI Annexe Notion de groupe Notion de corps Morphisme de corps VII Exercices MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC http pagesperso-orange fr Fradin Patrick CConstruction de l ? ensemble des complexes Chapitre Nombres complexes I Construction de l ? ensemble des complexes Dé ?nition DÉFINITION Un nombre complexe est un couple de réels L ? ensemble des nombres complexes est donc l ? ensemble On peut alors écrire x y x y ?? ou encore ??z ?? ??x y ?? z x y de plus les réels x et y sont uniques Le réel x est appelé partie réelle de z noté Re z et le réel y est appelé partie imaginaire de z noté Im z Opérations sur les complexes Nous allons dé ?nir dans deux opérations ou lois de composition internes une addition et une multiplication Soient z x y et z x y deux complexes On dé ?nit la somme z z en posant z z x x y y On véri ?e que cette loi possède des propriétés analogues à celles de l ? addition des réels à savoir ?? l ? associativité ??z z z ?? z z z z z z ?? la commutativité ??z z ?? z z z z ?? il y a un élément neutre qui est le complexe ??z ?? z z z ?? tout complexe z possède un opposé noté ??z ??z x y ?? ??z ??x ?? y et z ??z ??z z On dé ?nit le produit z ? z ou plus simplement zz en posant z ? z x x ?? y y x y x y On véri ?e que cette loi possède des propriétés analogues à celles de la multiplication des réels à savoir ?? l ? associativité ?? la commutativité ?? existence d ? un élément neutre c ? est le complexe ?? tout complexe z non nul ie z admet un inverse noté z ?? ou et si z x y alors