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Chap2 modelisation CHAPITRE MISE EN ÉQUATION D'UN SYSTÈME LINÉAIRE SCALAIRE La mise en équation au départ de l'analyse d'un système est une opération extrêmement délicate qui peut compromettre l'ensemble de l'étude de manière dé ?nitive Cette opération de

CHAPITRE MISE EN ÉQUATION D'UN SYSTÈME LINÉAIRE SCALAIRE La mise en équation au départ de l'analyse d'un système est une opération extrêmement délicate qui peut compromettre l'ensemble de l'étude de manière dé ?nitive Cette opération demande beaucoup de connaissances physiques mais aussi d'expérience de terrain Avec une vue générale des systèmes et par analogie avec les systèmes électriques on peut établir ces équations indispensables Dans la suite nous nous intéresserons aux systèmes scalaires c'est à dire à une entrée et une sortie linéaires Notion de modèle - Mise en équation On appelle modèle d ? un processus ou système monovariable la loi qui relie l ? entrée x cause à la sortie y e ?et L ? idéal pour appréhender l ? étude d ? un systèmees t de détailler pas à pas l ? ensemble de ses éléments constitutifs Mais cette méthode la seule au stade de la conception d ? un système automatisé n ? est pas praticable en général sur un système existant de structure complexe ou mal connue Nous supposerons que l ? on peut dé ?nir a priori une loi simple qui lie y à x Les paramètres en général peu nombreux de la loi sont alors déterminés par des essais e ?ectués sur le système c ? est la phase d ? identi ?cation ou modélisation Soit un système linéaire et scalaire Le comportement d'un tel système est régi par une équation di ?érentielle ayant pour forme x t y t b n d ny dt n b dy dt b y am d mx dt m a dx dt a x ? ? ? Remarque Si le système est variant les coe ?cientiseat bj de l'équation sont dépendants du temps i at bj t La mise en équation d'un système scalaire linéaire et invariant consiste donc à déterminer les paramètres constants de l'équation qui lient l'entrée et la sortie Exemple i t R ve t C vs t - - COn a vs C ? idt donc i C dvs dt Avec ve R i vs d ? o? ve R C dvs dt vs Par identi ?cation b b RC et a Transformée de Laplace L'étude des systèmes s'accompagne inévitablement de la manipulation d'équations di ?érentielles Or les opérations liées à cette manipulation sont souvent délicates et la résolution des équations n'est pas toujours simple Pour faciliter les calculs on utilise un outil mathématique puissant la transformée de Laplace ? Formulation mathématique Transformée de Laplace Soit f t une fonction réelle de la variable réelle t dé ?nie pour toute valeur de t sauf éventuellement pour certaines valeurs en nombre ?ni dans tout intervalle ?ni et nulle pour t ? ? La transformée Laplace de f t est dé ?nie par l'égalité F p e ??pt f t dt p étant une variable complexe On note F p LP f t et f t LP- F p On dit que F p est la transformée de f t et que f t