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Chap3 boite a z Chapitre III Equations di ?érentielles du second ordre la boite à z Cas des équations à coe ?cients constants On considère une équation di ?érentielle du second ordre à coe ?cients constants y ay by P t e t E o? P est un polynôme à coe ?ci

Chapitre III Equations di ?érentielles du second ordre la boite à z Cas des équations à coe ?cients constants On considère une équation di ?érentielle du second ordre à coe ?cients constants y ay by P t e t E o? P est un polynôme à coe ?cients réels mais on peut aussi le prendre à coe ?cients complexes et ?? C On cherche à obtenir une solution particulière Remarque Si on doit résoudre une équation du type y ay by P t e ?t cos ?t ou y ay by P t e ?t sin ?t on passe par y ay by P t e t avec ? i ? et on prend la partie réelle ou imaginaire de la solution trouvée Les solutions à valeurs dans C de l ? équation homogène y ay by sont de la forme ?er t er t lorsque l ? équation caractéristique a deux racines ou de la forme ?er t ter t en cas de racine double Ces solutions sont donc combinaisons linéaires des deux solutions particulières y t er t y t er t ou y t ter t Si on pose y x z t e t alors y est solution de E si et seulement si z t uz t vz t e t P t e t o? u et v sont des constantes on peut faire le calcul pour expliciter u a et v a b donc si et seulement si z est solution de l ? équation du second degré à coe ?cients constants z uz vz P t E Comment obtenir rapidement les coe ?cients u et v Les solutions de l ? équation homogène en y sont y et y celles de l ? équation homogène en z sont donc z t y t e ?? t z t y t e ?? t On conna? t donc les solutions de l ? équation homogène z uz vz On peut alors a ?rmer que les racines de l ? équation caractéristique associée à E sont r ?? et r ?? ou r ?? dans le cas d ? une racine double On a alors immédiatement les coe ?cients u et v car ??u est la somme des racines et v le produit On résume cela dans la ? boite à z ? On place dans la première colonne les solutions y et y et dans la seconde les solutions z et z On lit alors les racines de l ? équation caractéristique de l ? équation homogène en z On en déduit l ? équation homogène associée à E et in ?ne E elle même Il reste ensuite à chercher z sous la forme d ? un polynôme de degré à déterminer Exemple Résoudre y ?? y y tet L ? équation caractéristique est r ?? r r ?? r ?? les solutions de l ? équation homogène en y sont de la forme ?e t e t On pose y t z