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Chap 12 Chapitre Continuité Objectifs ?? Dé ?nir la notion de continuité et étudier la structure de C I R ?? Étudier la continuité sur un intervalle théorème des valeurs intermédiaires et ses conséquences ?? Étudier la notion d ? uniforme continuité et le

Chapitre Continuité Objectifs ?? Dé ?nir la notion de continuité et étudier la structure de C I R ?? Étudier la continuité sur un intervalle théorème des valeurs intermédiaires et ses conséquences ?? Étudier la notion d ? uniforme continuité et le théorème de Heine ?? Étudier les liens entre la continuité et la monotonie d ? une fonction ?? Dé ?nir la notion d ? approximation par les fonctions en escalier ?? Étendre la notion de continuité aux fonctions à valeurs complexes Sommaire I Rappels Dé ?nitions Théorèmes généraux II Fonctions continues sur un intervalle Théorème des valeurs intermédiaires Continuité sur un segment Uniforme continuité III Continuité et fonctions monotones Rappels Monotonie et continuité Théorème des bijections IV Approximation Fonctions en escalier Fonctions continues par morceaux V Extension aux fonctions à valeurs complexes Continuité Propriétés VI Exercices MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC http pagesperso-orange fr Fradin Patrick CRappels I Rappels Dé ?nitions Chapitre Continuité DÉFINITION Soit f I ? R une fonction et soit a ?? I on dit que f est ?? continue en a lorsque lim f t f a sinon on dit que a est un point de discontinuité de f t ?a ?? continue à gauche en a lorsque I ?? ?? ? a et lim f t f a t ?a ?? ?? continue à droite en a lorsque I ?? a ? et lim f t f a t ?a Si f est continue en tout point de I alors on dit que f est continue sur I L ? ensemble des fonctions continues sur I est noté C I R Remarques a f est continue en a ?? I ssi ?? ?? ?? x ?? I x ?? a ?? f x ?? f a b f est continue en a ssi lim f t f a lorsque a n ? est pas une borne de I ceci équivaut encore à x ?a x a lim f t f a et lim f t f a i e f est continue à gauche et à droite en a t ?a t ?a ?? c f est continue en a ssi pour toute suite un d ? éléments de I qui tend vers a la suite f un tend vers f a Prolongement par continuité Soit f I ? R une fonction et soit a une extrémité de I réelle et n ? appartenant pas à I si f admet une limite ?nie en a alors la fonction f ? I ?? a ? R dé ?nie par F F F F F F f ? x f x si x a si x a est continue sur I ?? a Cette fonction est appelée prolongement de f par continuité en a Théorèmes généraux THÉORÈME Soient f g deux fonctions continues sur I et soit un réel alors ?? f g f ? g et f sont continues sur I f ?? Si g ne s ? annule pas sur I alors est