Banque <<Agro -V´ eto>> A - 0512 MATH´ EMATIQUES ´ EPREUVE B Dur´ ee : 3 heures

Banque <<Agro -V´ eto>> A - 0512 MATH´ EMATIQUES ´ EPREUVE B Dur´ ee : 3 heures 30 minutes Chaque candidat est responsable de la v´ erification de son sujet d’´ epreuve : pagination et impression de chaque page. Ce contrˆ ole doit ˆ etre fait en d´ ebut d’´ epreuve. En cas de doute, il doit alerter au plus tˆ ot le chef de centre qui contrˆ olera et ´ eventuellement remplacera le sujet. L’usage d’une calculatrice est interdit pour cette ´ epreuve. Si, au cours de l’´ epreuve, un candidat rep` ere ce qui lui semble ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ´ et´ e amen´ e ` a prendre. Les parties B, C et D sont ind´ ependantes mais utilisent des r´ esultats et les notations de la partie A On consid` ere une roulette circulaire, divis´ ee en s ⩾2 secteurs angulaires r´ eguliers, et pouvant tourner autour d’un axe fix´ e en son centre O. Chaque secteur porte un num´ ero de 1 ` a s, ceux-ci ´ etant ordonn´ es suivant le sens trigonom´ etrique inverse. C d´ esignant le cercle d´ elimitant le bord de la roulette, on note Ik le point de C situ´ e ` a l’extr´ emit´ e du rayon s´ eparant le secteur k du secteur k + 1 pour 1 ⩽k ⩽s −1, et I0 le point correspondant entre les secteurs s et 1. Les figures 1, 2 et 3 illustrent ces d´ efinitions pour le cas s = 9. b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b I8 I7 I6 I5 I4 I3 I2 I1 I8 I7 I6 I5 I4 I3 I2 I1 I0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O θ Figure 1 Figure 2 b b b b b b b b b I8 I7 I6 I5 I4 I3 I2 I1 I0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Figure 3 θ0 bI Position initiale en I0 Position finale (d´ epart en I0). Autre position initiale I0 Un rep` ere fixe triangulaire permet de d´ esigner un unique secteur de la roulette. ` A l’instant initial, le rep` ere indique un point I de la roulette de sorte que ( \ − → OI, − − → OI0) = θ0 (θ0 = 0 et I = I0 dans la figure 1, θ0 quelconque dans la figure 3). La roulette est lanc´ ee dans le sens trigonom´ etrique. Une fois son mouvement termin´ e, le rep` ere d´ esigne un secteur dont le num´ ero k est le num´ ero gagnant (figure 2). On admettra ici que la probabilit´ e que le rep` ere d´ esigne un rayon s´ eparant deux secteurs est nulle, ce qui est coh´ erent avec le mod` ele qui suit. On note X la variable al´ eatoire ´ egale au num´ ero gagnant, N la variable al´ eatoire ´ egale au nombre de tours complets effectu´ es par la roulette avant de s’arrˆ eter et θ la variable al´ eatoire ´ egale ` a l’angle total en radians dont a tourn´ e le point I0 autour de l’axe au cours du mouvement, en tenant compte du nombre de tours complets. Dans l’exemple de la figure 2, on a θ = 4π + 3π/4 : cela signifie que la roue a fait N = 2 tours complets plus trois huiti` emes de tour avant de s’arrˆ eter, et le num´ ero gagnant est alors X = 4. On supposera dans toute la suite que θ suit la loi exponentielle de param` etre 1 α dont une densit´ e est la fonction f d´ efinie pour tout x ∈R par    f(x) = 1 α exp  −x α  si x ⩾0 f(x) = 0 si x < 0 o` u α > 0 est un r´ eel fix´ e. 1/4 T.S.V.P. A. D´ etermination des lois de X et de N A.1. On commence par une ´ etude de la loi de θ. a) Calculer l’esp´ erance et la variance de la variable al´ eatoire θ en fonction de α. b) Calculer la fonction de r´ epartition F de θ. A.2. On s’int´ eresse maintenant ` a la loi de N. a) Pour n ∈N, ` a quelles valeurs de θ correspond l’´ ev´ enement {N = n} ? En d´ eduire que N suit une loi g´ eom´ etrique de param` etre p = 1 −e−2π α . On pose q = 1 −p. b) Calculer l’esp´ erance et la variance de N en fonction de q. A.3. Nous d´ eterminons maintenant la loi conjointe du couple (X, N). Soient k un entier entre 1 et s et n ∈N. On suppose ici qu’` a l’instant initial, le rep` ere d´ esigne le point I0, comme sur la figure 1. a) Montrer que la probabilit´ e de l’´ ev´ enement conjoint [X = k ∩N = n] est P[X = k ∩N = n] = qnq k s  q−1 s −1  . b) Montrer que pour k fix´ e, la s´ erie de terme g´ en´ eral un = P[X = k ∩N = n] est convergente. En d´ eduire que la probabilit´ e de l’´ ev´ enement {X = k} est P[X = k] = q k s  q−1 s −1  1 −q . c) V´ erifier que s X k=1 P[X = k] = 1. d) Montrer que les variables al´ eatoires X et N sont ind´ ependantes. B. Num´ eros gagnants ´ equiprobables. Nous allons voir ici deux m´ ethodes simples pour tenter de rendre les num´ eros ´ equiprobables. B.1. Dans cette question, on examine l’id´ ee intuitive suivante : si la roulette est lanc´ ee suffisamment fort pour faire un tr` es grand nombre de tours, la position initiale n’a presque plus d’influence sur le r´ esultat. a) Calculer la limite de P[X = k] quand α tend vers +∞. b) Conclure. B.2. Dans cette question et la suivante, nous exami- nons la possibilit´ e de dessiner sur la roulette des sec- teurs angulaires non-r´ eguliers dans le cas particulier s = 2. On suppose donc la roulette divis´ ee en deux secteurs : le secteur 1 est une portion de disque d’angle π −ω (o` u ω ∈]0, π[) et le secteur 2 la portion restante. La position initiale est au point I0 (voir figure 4 ci- contre). 1 2 ω O I0 Figure 4 Pour tout x ∈R, on d´ efinit ch(x) = ex + e−x 2 et sh(x) = ex −e−x 2 . On admettra que ch et sh sont des fonctions de classe C∞sur R, v´ erifiant pour tout x ∈R : ch′(x) = sh(x) et sh′(x) = ch(x) et la formule (ch(x))2 −(sh(x))2 = 1. a) Pour tout n ∈N, exprimer P[X = 1 ∩N = n] et P[X = 2 ∩N = n] en fonction de n, α et ω. b) En d´ eduire que P[X = 1] = P[X = 2] si et seulement si ω = α ln  ch π α  (*). c) On suppose que ω est fix´ e par la relation pr´ ec´ edente. X et N sont-elles ind´ ependantes? 2/4 B.3. On cherche ` a d´ eterminer si la relation (*) est bien compatible avec la condition ω ∈]0, π[. Pour cela, on pose ϕ(α) = α ln  ch π α  . a) Montrer que ϕ est de classe C∞sur ]0, +∞[ et calculer ϕ′, qu’on exprimera ` a l’aide de la fonction ψ : x 7→xsh(x) ch(x) −ln(ch(x)). b) Montrer que ψ(x) > 0 pour tout x > 0 et en d´ eduire que ϕ est d´ ecroissante sur ]0, +∞[ (on pourra calculer ψ′). c) Montrer que lim α→0+ ϕ(α) = π, et en d´ eduire que ϕ(α) est dans l’intervalle ]0, π[. Conclure. d) Montrer que lorsque x tend vers 0, ch(x) = 1 + x2 2 + o(x2), et en d´ eduire lim α→+∞ϕ(α). Comment interpr´ eter ce r´ esultat en faisant r´ ef´ erence ` a la question B.1 ? C. Parties enchaˆ ın´ ees On supposera dans toute cette partie s = 3 (voir figure 5 ci-contre). La roulette est maintenant lanc´ ee plusieurs fois de suite, la position initiale avant le premier lancer ´ etant en I0. ` A l’issue de chaque mouvement : • si le num´ ero gagnant est 1, la roulette est relanc´ ee depuis la position I1 • si le num´ ero gagnant est 2, la roulette est relanc´ ee depuis la position I2 • si le num´ ero gagnant est 3, la roulette est relanc´ ee depuis la position I0 b uploads/s3/ agro-2012-math-b.pdf

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• Publié le Oct 18, 2021
• Catégorie Creative Arts / Ar...
• Langue French
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