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Correction de épreuve de maths- nationale 2018 session normale- Réalisé par Yas

Correction de épreuve de maths- nationale 2018 session normale- Réalisé par Yassine Mghazli http://www.bac-mazraa.com Email : y_mghazli@hotmail.com Page 1 Exercice 1 1- E est une partie non vide de ( ) 2 M  Pour tout éléments ( ) , M x y et ( ) a,b M de E on a : ( ) ( ) 2 2 , a,b 2 2 x y a b M x y M y x y b a b - - æ ö æ ö - = - ç ÷ ç ÷ + + è ø è ø ( ) ( ) ( ) 2 2 , x a y b y b x a y b M x a y b - - - æ ö = ç ÷ - - + - è ø = - - Donc ( ) ( ) , a,b M x y M E - Î On déduit que E est un sous groupe de ( ) 2 M  2- a) E est une partie non vide de ( ) 2 M  Pour tout éléments ( ) , M x y et ( ) a,b M de E et pour tout a et b de on a : ( ) ( ) 2 2 , a,b 2 2 x y a b M x y M y x y b a b a a b b a b a a a b b b - - æ ö æ ö + = + ç ÷ ç ÷ + + è ø è ø ( ) ( ) ( ) 2 2 , x a y b y b x a y b M x a y b a b a b a b a b a b a b a b + - + æ ö = ç ÷ + + + + è ø = + + Donc ( ) ( ) , a,b M x y M E a b + Î On déduit que E est un sous espace vectoriel de ( ) ( ) 2 , , M + ×  b) Pour tout élément ( ) , M x y de E on a : ( ) 2 , 2 x y M x y y x y - æ ö = ç ÷ + è ø ( ) ( ) 0 0 2 0 2 1 0 0 2 0 1 1 2 1,0 0,1 x y x y y x y xM yM xI yJ - æ ö æ ö = + ç ÷ ç ÷ è ø è ø - æ ö æ ö = + ç ÷ ç ÷ è ø è ø = + = + Donc la famille( ) , I J est génératrice de E Correction de épreuve de maths- nationale 2018 session normale- Réalisé par Yassine Mghazli http://www.bac-mazraa.com Email : y_mghazli@hotmail.com Page 2 Et on a ( ) ( ) 2 , ; x y " Î ( ) , xI yJ O M x y O + = Þ = 2 0 0 2 0 0 0 x y y x y x y - æ ö æ ö Þ = ç ÷ ç ÷ + è ø è ø Þ = = Donc la famille( ) , I J est libre On déduit que la famille( ) , I J est une base de E 3- a) Pour tout éléments ( ) , M x y et ( ) a,b M de E on a ( ) ( ) ( ) ( ) , a,b M x y M xI yJ aI bJ ´ = + ´ + ( ) 2 2 xaI xbJ yaJ ybJ xaI xb ya J ybJ = + + + = + + + Or 2 0 2 0 2 2 4 2 2 1 2 1 2 2 2 J I J - - - - æ ö æ ö æ ö = ´ = = - + ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø On déduit que ( ) ( ) ( ) ( ) , a,b 2 2 M x y M xaI xb ya J yb I J ´ = + + + - + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , 2 xa yb I xb ya yb J M xa yb xb ya yb = - + + + = - + + Donc ( ) ( ) , a,b M x y M E ´ Î Se qui prouve que : E est une partie stable de ( ) ( ) 2 , M ´  b- on a ( ) , E + est un groupe commutatif ( ) ( ) 2 , , M + ´  est un anneau et E est une partie stable dans ( ) ( ) 2 , M ´  Donc ´ est associative dans E et est distributive par rapport à+ dansE De plus on a ( ) ( ) ( ) , a,b 2 , 2 M x y M M xa yb xb ya yb ´ = - + + ( ) ( ) ( ) 2 ,bx 2 , , M ax by ay by M a b M x y = - + + = ´ Donc ´ est commutatif dans E On déduit que ( ) , , E + ´ est un anneau commutatif 4- a) soient ( ) , x y et ( ) , a b deux éléments de ( ) { } 2 0,0 -  On a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a ib x iy ax by i ay bx j j + ´ + = - + + ( ) ( ) , M ax by ay bx ay bx = - + + - + Correction de épreuve de maths- nationale 2018 session normale- Réalisé par Yassine Mghazli http://www.bac-mazraa.com Email : y_mghazli@hotmail.com Page 3 Et on a ( ) ( ) ( ) ( ) a b, b , a ib x iy M M x y y j j + ´ + = + - ´ + - ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 , a b I bJ x y I yJ a b x y I y a b b x y J yb I J ax ay bx by by I ay by bx by by J ax by ay bx I ay bx J M ax by ay bx ay bx = + - ´ + - = + + - + + + + - + = + + + - + - - - - + = - + + - + = - + + - + Donc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a ib x iy a ib x iy j j j + ´ + = + ´ + On déduit que j est un homomorphisme de ( ) , * ´  vers ( ) ( ) 2 , M ´  b) posons ( ) ( ) , , x y a b b = + - on a ( ) ( ) , , x x y x y y y a b a a b b b b + = = + ì ì = + - Û Û í í - = = - î î de plus ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } 2 2 , 0,0 , 0,0 x y a b Î - Û Î -   On a donc ( ) ( ) ( ) ( ) { } { } 2 / , 0,0 x iy x y j j * = + Î -   ( ) ( ) ( ) { } { } ( ) ( ) ( ) { } { } 2 2 , / , 0,0 , / , 0,0 M x y y x y M E a b a b * = + - Î - = Î - =   Finalement ( ) E j * * =  c) j est un homomorphisme de ( ) , * ´  vers ( ) ( ) 2 , M ´  et ( ) , * ´  est un groupe commutatif Donc ( ) ( ) , j * ´  est un groupe commutatif or ( ) E j * * =  On déduit que ( ) , E* ´ est un groupe commutatif 5- ( ) , , E + ´ est un anneau commutatif unitaire ( ) I E Î Et ( ) , E* ´ est un groupe commutatif don tout élément de uploads/Litterature/ math 1 .pdf