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MATHéMATIQUES Terminale S v 10/10 Mathématiques Terminale S – V10/10 – page 1 ©

MATHéMATIQUES Terminale S v 10/10 Mathématiques Terminale S – V10/10 – page 1 © Complétude 2010/2011 Sommaire Partie A : Résumés de cours 3 Chapitre I : Limites et continuité de fonctions 4 I. Limites et comportements asymptotiques 4 II. Continuité 12 Chapitre II : Dérivation et étude de fonctions 15 I. Dérivation 15 II. Etude de fonctions 19 Chapitre III : Exponentielle, logarithme, puissance 22 I. Fonction exponentielle 22 II. Fonction logarithme 24 III. Fonction puissance 26 IV. Croissance comparée 27 Chapitre IV : Intégrales, primitives, équations différentielles 29 I. Intégrales 29 II. Primitives 32 III. Calcul d’intégrales 34 IV. Equations différentielles 35 Chapitre V : Suites numériques 37 I. Généralités 37 II. Raisonnement par récurrence 39 III. Limites et convergence 39 Chapitre VI : Dénombrements, probabilités et lois de probabilité 44 I. Dénombrements 44 II. Probabilités 49 III. Lois de probabilité 53 Chapitre VII : Les nombres complexes 55 I. Présentation des nombres complexes 55 II. Module d’un nombre complexe 57 III. Equation du second degré 60 IV. Nombres complexes et géométrie plane 61 Chapitre VIII : Géométrie dans l’espace 64 I. Produit scalaire dans l’espace 64 II. Barycentre 67 III. Droites de l’espace 68 IV. Plans de l’espace 69 Chapitre IX : Arithmétique (spécialité) 71 I. Divisibilité dans ℤ 71 II. Les congruences 72 III. Les nombres premiers 72 IV. PGCD et PPCM 74 Chapitre X : Sections planes de surfaces (spécialité) 76 Mathématiques Terminale S – V10/10 – page 2 © Complétude 2010/2011 I. Cylindre de révolution 76 II. Cône de révolution 78 III. Surface d’équation z = x2 + y2 79 IV. Surface d’équation z = x y 80 Chapitre XI : Similitudes planes (specialité) 82 I. Généralités 82 II. Similitudes 83 III. Similitude directe ou indirecte 84 Partie B : Enoncés des exercices 87 Chapitre I : Limites et continuité de fonctions 88 Chapitre II : Dérivation et étude de fonctions 91 Chapitre III : Exponentielle, logarithme, puissance 96 Chapitre IV : Intégrales, primitives, équations différentielles 100 Chapitre V : Suites numériques 107 Chapitre VI : Dénombrements, probabilités et lois de probabilité 113 Chapitre VII : Les nombres complexes 119 Chapitre VIII : Géométrie dans l’espace 124 Chapitre IX : Arithmétique (spécialité) 129 Chapitre X : Sections planes de surfaces (spécialité) 133 Chapitre XI : Isométries planes (spécialité) 136 Préparation au Bac 141 Partie C : Correction des exercices 145 Chapitre I : Limites et continuité de fonctions 146 Chapitre II : Dérivation et étude de fonctions 146 Chapitre III : Exponentielle, logarithme et puissance 147 Chapitre IV : Intégrales, primitives, équations différentielles 148 Chapitre V : Suites numériques 149 Chapitre VI : Dénombrements, probabilités et lois de probabilité 150 Chapitre VII : Nombres complexes 151 Chapitre VIII : Géométrie dans l’espace 151 Chapitre IX : Arithmétique (spécialité) 152 Chapitre X : Sections planes de surfaces (spécialité) 153 Chapitre XI : Similitudes planes (spécialité) 153 Mathématiques Terminale S – V10/10 – page 3 © Complétude 2010/2011 Partie A : RESUMES DE COURS Mathématiques Terminale S – V10/10 – page 4 © Complétude 2010/2011 Chapitre I : LIMITES ET CONTINUITE DE FONCTIONS I. LIMITES ET COMPORTEMENTS ASYMPTOTIQUES 1° Limite en l’infini a - Limite infinie en l’infini Si, quand x tend vers + ∞ (ou vers - ∞), f(x) devient toujours plus grand en valeur absolue, on dit que la limite de f(x) quand x tend vers plus (ou moins) l'infini, est plus (ou moins) l'infini. On écrit : ∞ +∞ → + = f(x) lim x ou ∞ ∞ → + = f(x) lim - x ou ∞ +∞ → - = f(x) lim x ou ∞ −∞ → - = f(x) lim x Exemples : . x - = f(x) -x, = f(x) , x = f(x) x, = f(x) 3 2 b - Limite finie en l’infini Si, quand x tend vers + ∞ (ou vers - ∞), f(x) devient de plus en plus proche d'un réel L, on dit que la limite de f(x) quand x tend vers plus (ou moins) l'infini est L. On écrit : lim x f(x) = L →−∞ ou lim x f(x) = L →+∞ Exemple : f(x) = 1 x 1 + . 2° Limite en un point a - Limite infinie en a Si, quand x tend vers a, f(x) devient toujours plus grand en valeur absolue, on dit que la limite de f(x) quand x tend vers a, est plus (ou moins) l'infini. On écrit : ∞ → + = f(x) lim a x ou −∞ = →f(x) lim a x Exemples : f(x) = 1 x 2 en a = 0, f(x) = 1 x en a = 0. b - Limite finie en a Si, quand x tend vers a, f(x) devient de plus en plus proche d'un réel L, on dit que la limite de f(x) quand x tend vers a, est L . On écrit : lim x a f(x) = L → Exemple : f(x) = 2x + 1 en a = 1. Mathématiques Terminale S – V10/10 – page 5 © Complétude 2010/2011 ¾ Certaines fonctions n’admettent pas de limite. Par exemple les fonctions x→ cos x et x→sin x n’admettent pas de limite en + ∞, ni en −∞. ¾ Pour qu’une fonction f admette une limite en un réel a, il faut que f soit définie en a ou bien que a soit une borne de l’intervalle de définition de f. ¾ Pour qu’une fonction f admette une limite à l’infini, il faut nécessairement que f soit définie au moins sur un intervalle du type [m ;+ ∞[ ou ]−∞ ; m] ( m un réel ) . 3° Limites des fonctions usuelles a - Fonctions usuelles Les résultats suivants sont très souvent utilisés : f(x) = x +∞ → xlim f(x) = + ∞ Si f(x) = x² alors f(x) = n x ( n∈ℕ * ) f(x) = x lim x→0 f(x) = 0 f(x) = x 1 Si f(x) = x 1 2 alors lim x→+∞f(x) = 0 f(x) = x 1 n ( n∈ℕ * ) f(x) = x 1 Si f(x) = x sinx alors 0 lim → x f(x) = 1 a O y c f(a) f(b) k Mathématiques Terminale S – V10/10 – page 6 © Complétude 2010/2011 4° Opérations algébriques sur les limites Les limites peuvent être additionnées, multipliées ou divisées entre elles la plupart du temps sans problèmes. Dans les paragraphes suivants, on considère deux fonctions f et g ayant respectivement une limite finie L et L’ ou une limite infinie ( ± ∞) en a (où a est soit un réel, soit ± ∞). Le terme « indéterminée » signifie qu’il n’y a pas de règle générale permettant de conclure. Il convient alors de déterminer cette limite d'une autre façon, le plus souvent en tentant d’exprimer la fonction sous une autre forme. On dit que c’est une forme indéterminée. a - Addition Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I admettant une limite en un point a ou à l'infini. Le tableau ci-dessous donne la limite de f + g en ce même point ou à l'infini. b - Multiplication Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I admettant une limite en un point a ou à l'infini. Le tableau ci-dessous donne la limite de f × g en ce même point ou à l'infini. Lim g L + ∞ - ∞ L' L+L' + ∞ - ∞ + ∞ + ∞ + ∞ indéterminée Lim f - ∞ - ∞ indéterminée - ∞ Lim g L 0 + ∞ - ∞ L' L L' 0 + ∞ si L’ > 0 - ∞ si L’ < 0 - ∞ si L’ > 0 + ∞ si L’ < 0 0 0 0 indéterminée indéterminée + ∞ + ∞ si L > 0 - ∞ si L < 0 indéterminée + ∞ - ∞ Lim f - ∞ - ∞ si L > 0 + ∞ si L < 0 indéterminée - ∞ + ∞ Mathématiques Terminale S – V10/10 – page 7 © Complétude 2010/2011 c - Quotient Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I admettant une limite en un point a ou à l'infini. Le tableau ci-dessous donne la limite de f g en ce même point ou à l'infini. d - Formes indéterminées Les formes indéterminées sont au nombre de 4 : « ∞ − ∞ + » , « 0 0 » , « ∞ ∞ » et « ∞ × 0 ». ¾ Ils ne faut pas les confondre avec d’autre formes qui sont tout à fait connues telles que : « ∞ = ∞ × ∞ » , « 0 0 = ∞ » et « ∞ = ∞ 0 ». ¾ Dans le cas d’indéterminations du type« ∞ − ∞ + » ou « ∞ ∞ », il faut dans la plupart des cas mettre le terme dominant uploads/Litterature/ maths-ts.pdf